取石子游戏POJ1067

 

POJ1067取石子游戏：威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

　

　　这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ，k=0，1，2，……，n）表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

　

　　可以看出，a0=b0=0，ak是未在前面出现过的最小自然数，而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：

　

　　1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

　

　　由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立。

　

　　2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

　

　　事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

 

　3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

　

　　假设面对的局势是（a，b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk ，则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体，变为奇异局势（ ab - ak ， ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k，则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k，分两种情况，第一种，a=aj （j < k），从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k），从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

　

　　从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

　

　　那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，……，n 方括号表示取整函数）

　

　　奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618……，因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

附代码：

/*

  Description:
*/
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>

using namespace std;

const double e1 = (1 + sqrt(5.0))/2;
const double e2 = (-1 + sqrt(5.0))/2;

bool Compute(int a, int b)
{
   int k = (int)(a*e2);
   int ak = (int)(k*e1);
   if(a == ak && b == ak+k){
     return false;
   }
   k += 1;
   ak = (int)(k*e1);
   if(a == ak && b == ak+k){
     return false;
   }
   return true;
}
int main()
{
   int a, b;
   while(cin>>a>>b){
     if(a > b)
      swap(a, b);
     if(Compute(a, b))
       cout<<1<<endl;
     else cout<<0<<endl;
   }
   //system("pause");
   return 0;
}