Catalan Numbers(卡特兰数)

 Catalan Numbers 是组合数学中一种应用很广的数学模型，今天又复习了一遍。

着重体会了Catalan Numbers的本质约束，求解推导过程，常见的符合Catalan Numbers的模型。

1，Catalan Numbers的本质约束

我觉得碰到一个模型要判别是否能用Catalan Numbers这种递推模型来求解，不能光记住那些常见的模型，虽然记忆有助于我们理解。我想了想Catalan Numbers最本质的约束，最终的得出了一个结论。那就是Catalan Numbers对应的模型一定与一个从1到n的自然数序列的入栈出栈序列同构（对应）。仔细思考一下出栈入栈序列的限制，可以分为以下几点：

   a,入栈一定要在出栈前，且入栈时一定是从1-n的顺序。

  b,入栈只能一次。

   c,入栈后一定要出栈。即一定要匹配。

2,符合Catalan递推模型的解释

    a, dyck word

    模型叙述：C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

    模型解释:把n个X看做1——n的自然数，Y看做#1——#n的序列，其中#i表示i出栈。例如XXXYYY，表示123#3#2#1。也就是X看做入栈，Y看做出栈即可。

   b, 买票找零

   模型叙述：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

 模型解释：将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈

  C，括号的合法性

  模型叙述：给出n对括号（）,问有多少种合法的组合。

   模型解释：将左括号看做入栈，右括号看做出栈，即可。

   d，二叉树的个数

 模型叙述：问含有n+1个叶子的二叉树的个数。

   模型解释：将左孩子看做左括号，右孩子看做右括号，这里指的孩子包括分支节点和叶子节点。然后先序遍历即对应C。 C(n)。

   e,满二叉树的个数

   同上。

   f, 单调路径

  模型叙述：查看图片http://en.wikipedia.org/wiki/File:Catalan_number_4x4_grid_example.svg

  一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数。

模型解释：将向右看做入栈，将向左看做出栈。

 3，困惑

    对于凸三角形划分和阶梯填充，我还是找不到很好的切入点，利用自己思考的这个结论来解释。不过我觉得这种结论对于一些浅显模型的解释还是很直白的，很容易发现的。

4，参考资料

维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

百度百科：http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html