Machine Learning A Probabilistic Perspective exercise2.1

Description：

Probabilities are sensitive to the form of the question that was used to generate the answer. (Source: Minka.) My neighbor has two children. Assuming the gender of a child is like a coin flip, it is most likely, a priori, that my neighbor has one boy and one girl, with probability 1/2. The other possibilities—two boys or two girls—have probabilities 1/4 and 1/4.

a. Suppose I ask him whether he has any boys and he says yes. What is the possibility that one child is a girl?

b. Suppose instead that I happen to see one of his children run by, and it is a boy. What is the porbability that the other child is a girl?

 

初看这俩问题简直就是一样，但是细分析是不一样的。

假设起始的样本空间为GG,BB,BG,GB(用G代表girl，B为boy)。

a.由于知道其中一个为男孩，那么样本空间由GG,BB,BG,GB变为BB,BG和GB(已经毙掉了GG这个情况)，那么可知P(one child is a girl)=2/3

b.第二个问题和第一个问题不同之处就是样本空间是不一样的。对于样本空间GG,BB,BG,GB，我们可以看出写这个样本空间实际上考虑了先后顺序。这个先后顺序就是前面那个字母我们认为是第一个孩子的属性，第二个字母认为是第二个孩子的属性。第一个问题和第二个问题的不同之处就是要分情况来看，而这个情况就是看到的是哪一个。如果看到的是第一个那么样本空间变成BB,BG，对第二种情况是相似的。第二种和第一种的本质区别就是：在空间中BG和GB是不能同时出现的，而导致这个的因素就是前提看到的是那个孩子。第二个问题的概率是1/2.

 

对于这个问题还有个简单的理解：第一种情况是抛两枚硬币，GG不行，剩下的三种情况两种满足，所以第一题答案是2/3；第二种情况，抛两枚硬币，我盖住一枚然后你看到的一枚是正面，我问你我盖住的硬币是反面的概率是多少。