机器视觉中的图像积分图及其实现

计算机视觉中，人脸检测（Face Detection）是一项常见的任务。Paul Viola和Michael Jones在《Rapid object detection using a Boosted cascade ofsimple features》一文中提出的快速对象识别算法将人脸检测推向了一个新的高度，这种将Adaboost 和Cascade 算法综合运用的实时人脸检测系统，使人脸检测这项工作具有了更为实际的意义和价值。其中，为了加速Haar特征的计算，他们提出了积分图的概念。

坐标点(x, y)的积分图定义为其所对应的图中左上角的像素值之和：

其中ii(x,y)表示像素点(x, y)的积分图，i(x, y)表示原始图像。例如，在Matlab中最简单的计算积分图的方法就是使用累和函数cumsum。下面给出一段简单的示例代码。

>> m = [1, 2, 3;
        4, 5, 6;
        7, 8, 9]

m =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> cumsum(cumsum(m, 2), 1)

ans =

     1     3     6
     5    12    21
    12    27    45

但是你可以想象，如果按照定义来计算图像的积分图，随着图像尺寸的扩大，计算量的增长是非常惊人的。幸好，我们可以使用一种更加高效的方法来计算积分图。ii(x,y)通过下式迭代进行计算：s(x, y) = s(x, y−1)+i(x,y)，ii(x, y) = ii(x-1, y)+s(x,y)，其中s(x,y)表示行的积分和，且s(x, -1) =0，ii(-1, y) = 0。求一幅图像的积分和，只需遍历一次图像即可。

积分图元素值计算：由上述公式可知，上图中点“1”的积分图的值是矩形框A中所有像素的像素值之和。点“2”的积分图所对应的值为A+B，点“3”是A+C，点“4”是A+B+C+D，所以D中所有的像素值之和可以用4+1-(2+3)计算。这也是利用积分图来实现Haar特征快速计算的基本原理。假设点4处的坐标为(x,y)，那么可以知道点4处积分图ii(x,y)的计算公式为 ii(x, y) = i(x, y) + ii(x-1, y) + ii(x, y-1) - ii(x-1, y-1)， 这个公式对应图中的 D + (A+C) + (A+B) - A = A + B + C + D。

下面所示之Matlab代码就是利用上述原理来计算积分图的。

>> [w h] = size(m);
>> %计算积分图
I=zeros(w,h);
for i=1:w
    for j=1:h
        if i==1 && j==1             %积分图像左上角
            I(i,j)=m(i,j);
        elseif i==1 && j~=1         %积分图像第一行
            I(i,j)=I(i,j-1)+m(i,j);
        elseif i~=1 && j==1         %积分图像第一列
            I(i,j)=I(i-1,j)+m(i,j);
        else                        %积分图像其它像素
            I(i,j)=m(i,j)+I(i-1,j)+I(i,j-1)-I(i-1,j-1);  
        end
    end
end
>> I

I =

     1     3     6
     5    12    21
    12    27    45

可见这同前面根据定义算得的结果是一致的。