回溯算法讲解

  回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一 个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内 的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向 前试探。 
1、回溯法的一般描述 
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。 
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着 j（jj。因此，对于约束集D具有完备性 的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前 缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问 题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。 
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造： 
   设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权 xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次 的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组 （x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E 中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。 
   因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约 束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组 （x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。 
   在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。 
【问题】    组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。 
例如n=5，r=3的所有组合为：   
（1）1、2、3      （2）1、2、4      （3）1、2、5 
     （4）1、3、4      （5）1、3、5      （6）1、4、5 
     （7）2、3、4      （8）2、3、5      （9）2、4、5 
     （10）3、4、5 
则该问题的状态空间为： 
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 }    其中：S={1，2，3，4，5} 
约束集为：    x1<x2<x3
    显然该约束集具有完备性。 


2、回溯法的方法 
   对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：
   从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索 效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为 根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转 向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。 
在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。 
   例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结 点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结 点，但不满足约束条件，故也需回溯。 
3、回溯法的一般流程和技术 
   在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程： 

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。 
例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再 进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结 点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。 
【问题】    组合问题 
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。 
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质： 
（1）    a[i+1]>a，后一个数字比前一个大； 
（2）    a-i<=n-r+1。 
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下： 
   首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组 合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因 a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]， 这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。 按上述思想写成程序如下： 
【程序】 
#include "stdafx.h"
# include   
# define   MAXN   100 
int   a[MAXN]; 
void   comb(int m,int k) 
{   
    int i,j; 
    for (i=m;i>=k;i--) 
    {  
        a[k]=i; 
        if (k>1) 
            comb(i-1,k-1); 
        else 
        {   
            for (j=a[0];j>0;j--) 
                printf("%4d",a[j]); 
            printf("\n"); 
        } 
    } 
} 

void main() 
{  
    a[0]=3; 
    comb(5,3); 
}  
【问题】    填字游戏 
问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 
可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当 前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个 的填入的整数，寻找下一个解。 
为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足 要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数， 都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。 
回溯法找一个解的算法： 
{    int m=0,ok=1; 
   int n=8; 
   do{ 
     if (ok)    扩展; 
     else      调整; 
     ok=检查前m个整数填放的合理性; 
   }    while ((!ok||m!=n)&&(m!=0)) 
   if (m!=0)    输出解; 
   else      输出无解报告； 
} 
如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下： 
回溯法找全部解的算法： 
{    int m=0,ok=1; 
   int n=8; 
   do{ 
     if (ok)   
{    if (m==n)   
{    输出解； 
调整； 
} 
else    扩展; 
       } 
       else      调整; 
     ok=检查前m个整数填放的合理性; 
   }    while (m!=0); 
} 
为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个 顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整 数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。 
【程序】 
# include 
# define    N    12 
void write(int a[ ]) 
{    int i,j; 
   for (i=0;i<3;i++) 
   {    for (j=0;j<3;j++) 
       printf(“%3d”,a[3*i+j]); 
     printf(“\n”); 
   } 
   scanf(“%*c”); 
} 

int b[N+1]; 
int a[10]; 
int isprime(int m) 
{    int i; 
   int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1}; 
   if (m==1||m%2=0)    return 0; 
   for (i=0;primes>0;i++) 
     if (m==primes)    return 1; 
   for (i=3;i*i<=m;) 
   {    if (m%i==0)    return 0; 
     i+=2; 
   } 
   return 1; 
} 

int checkmatrix[ ][3]={    {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1}, 
           {2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}}; 
int selectnum(int start) 
{    int j; 
   for (j=start;j<=N;j++) 
     if (b[j]) return j 
   return 0; 
} 

int check(int pos) 
{    int i,j; 
   if (pos<0)      return 0; 
   for (i=0;(j=checkmatrix[pos])>=0;i++) 
     if (!isprime(a[pos]+a[j]) 
       return 0; 
   return 1; 
} 

int extend(int pos) 
{    a[++pos]=selectnum(1); 
   b[a][pos]]=0; 
   return pos; 
} 

int change(int pos) 
{    int j; 
   while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0) 
     b[a[pos--]]=1; 
   if (pos<0)      return –1 
   b[a[pos]]=1; 
   a[pos]=j; 
   b[j]=0; 
   return pos; 
} 

void find() 
{    int ok=0,pos=0; 
   a[pos]=1; 
   b[a[pos]]=0; 
   do { 
     if (ok) 
       if (pos==8) 
       {    write(a); 
         pos=change(pos); 
       } 
       else    pos=extend(pos); 
     else    pos=change(pos); 
     ok=check(pos); 
   }    while (pos>=0) 
} 

void main() 
{    int i; 
   for (i=1;i<=N;i++) 
     b=1; 
   find(); 
} 
【问题】    n皇后问题 
问题描述：求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。 
   这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。 
  
1    2    3    4    5    6    7    8 
     ×        ×     
×      ×      ×       
   ×    ×    ×         
×    ×    Q    ×    ×    ×    ×    × 
   ×    ×    ×         
×      ×      ×       
     ×        ×     
     ×          ×   
从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。 
   求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时��就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获 得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合 理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下： 
   {    输入棋盘大小值n； 
     m=0; 
     good=1; 
     do { 
       if (good) 
         if (m==n) 
         {    输出解； 
           改变之，形成下一个候选解; 
         } 
         else    扩展当前候选接至下一列； 
       else    改变之，形成下一个候选解； 
       good=检查当前候选解的合理性； 
     } while (m!=0); 
   } 
   在编写程序之前，先确定边式棋盘的数据结构。比较直观的方法是采用一个二维数组，但仔细观察就会发现，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。 更好的方法乃是尽可能直接表示那些常用的信息。对于本题来说，“常用信息”并不是皇后的具体位置，而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了 ”。因在某一列上恰好放一个皇后，引入一个一维数组（col[ ]），值col表示在棋盘第i列、col行有一个皇后。例如：col[3]=4，就表示在棋盘的第3列、第4行上有一个皇后。另外，为了使程序在找完了全 部解后回溯到最初位置，设定col[0]的初值为0当回溯到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。 
   为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易方便，引入以下三个工作数组： 
（1）    数组a[ ]，a[k]表示第k行上还没有皇后； 
（2）    数组b[ ]，b[k]表示第k列右高左低斜线上没有皇后； 
（3）    数组 c[ ]，c[k]表示第k列左高右低斜线上没有皇后； 
棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线上的方格，他们的行号与列号之差均相同。 
   初始时，所有行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开始，在第m列col[m]行放置了一个合理的皇后后，准备考察第m+1列时，在数组 a[ ]、b[ ]和c[ ]中为第m列，col[m]行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第m-1列，并准备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组a[ ]、b[ ]和c[ ]中设置的关于第m-1列，col[m-1]行有皇后的标志。一个皇后在m列，col[m]行方格内配置是合理的，由数组a[ ]、b[ ]和c[ ]对应位置的值都为1来确定。细节见以下程序： 
【程序】 
#include "stdafx.h"
#include 
#include 
#define    MAXN    20
int n,m,good;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];

void main()
{    
    int j;
    char awn;
    printf("Enter n:    ");    
    scanf("%d",&n);
    for (j=0;j<=n;j++)    
        a[j]=1;
    for (j=0;j<=2*n;j++)    
        b[j]=c[j]=1;
    m=1;   
    col[1]=1;      
    good=1;    
    col[0]=0;
    do {
        if (good)
            if (m==n)
            {    
                printf("列\t行");
                for (j=1;j<=n;j++)
                    printf("%3d\t%d\n",j,col[j]);
                printf("Enter a character (Q/q for exit)!\n");
                scanf("%c",&awn);
                if (awn=='Q'||awn=='q')    
                    exit(0);
                while (col[m]==n)
                {    
                    m--;
                    a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
                }
                col[m]++;
            }
            else
            {    
                a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=0;
                col[++m]=1;
            }
        else
        {    
            while (col[m]==n)
            {    
                m--;
                a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[n+m-col[m]]=1;
            }
            col[m]++;
        }
        good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[n+m-col[m]];
   } while (m!=0);
}  
   试探法找解算法也常常被编写成递归函数，下面两程序中的函数queen_all()和函数queen_one()能分别用来解皇后问题的全部觡和一个解。 
【程序】 
#include "stdafx.h"
#include    
#include    
#define    MAXN    20
int n;
int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1];
void queen_all(int k,int n);
void main()
{    
    int j;
    printf("Enter n:    ");    
    scanf("%d",&n);
    for (j=0;j<=n;j++)    
        a[j]=1;
    for (j=0;j<=2*n;j++)    
        b[j]=c[j]=1;
    queen_all(1,n);
}

void queen_all(int k,int n)
{    
    int i,j;
    char awn;
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        col[k]=i;
        if (a[col[k]]&&b[k+col[k]]&&c[n+k-col[k]])
        {
            a[col[k]]=b[k+col[k]]=c[n+k-col[k]]=0;
            if (k==n)
            {    
                printf("列\t行");
                for (j=1;j<=n;j++)
                    printf("%3d\t%d\n",j,col[j]);
                printf("Enter a character (Q/q for exit)!\n");
                scanf("%c",&awn);
                if (awn=='Q'||awn=='q')    
                    exit(0);
            }
            queen_all(k+1,n);
            a[col[k]]=b[k+col[k]]=c[n+k-col[k]]=1;
        }
    }
} 
   采用递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，递归算法要对当前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不再递归 试探，立即返回；若不能成为解，就得继续试探。设函数queen_one()返回1表示找到解，返回0表示当前候选解不能成为解。细节见以下函数。 
【程序】 
# define    MAXN    20 
   int n; 
   int col[MAXN+1],a[MAXN+1],b[2*MAXN+1],c[2*MAXN+1]; 
   int queen_one(int k,int n) 
   {    int i,found; 
     i=found=0; 
     While (!found&&i<n)
      {    i++; 
       if (a&&b[k+i]&&c[n+k-i]) 
       {    col[k]=i; 
         a=b[k+i]=c[n+k-i]=0; 
         if (k==n)    return 1; 
         else 
           found=queen_one(k+1,n); 
         a=b[k+i]=c[n+k-i]=1; 
       } 
     } 
     return found; 
   }