【线性代数】矩阵消元-高斯消元法

一、高斯消元法

       能使用消元法的情况：每次消元过程中，对角线元素始终不能为0，即矩阵可逆

   我们一般利用高斯消元法进行矩阵的消元。下面我们通过举例说明：

       如果按照我们初中所学的解法，一般是先用第三个方程将z用y表示，然后代入到第二个方程就可以用x来表示y和z，最后代入第一个方程就可以求得x,y,z。这个算法的核心就是消元！ 下面我们看看矩阵形式的消元法。

       首 先 将上面的三元一次方程组表示为矩阵形式为：

        

      为了方便，我们将等式右边的向量放到左边，构成增广矩阵（可以百度看看什么是增广矩阵）。下面是消元的具体步骤：

        

其中，上图中的第一个矩阵就是所说的增广矩阵，我们记作A，经过步骤E21得到的矩阵为B，经过步骤E32得到的矩阵为C。

       步骤E21的目的是A21=0，这里是指用第二行减去第一行的三倍

       步骤E32的目的是使A32=0，这里是指用第三行减去第二行的两倍

注：高斯消元的 目的是使原矩阵( 不要考虑最后一列，这一列是等式右边的，matlab是分别对左右两边进行消元的，我这里写在一起是为了方便)对角线下面的元素为0，变成上三角矩阵， 在上面例子中本应该在步骤E21和步骤E32中还有步骤E31,使得A31=0。但是原矩阵的A31=0，所以没有必要进行操作。尽管这一步骤没有必要，但matlab会进行操作（没有人机智）。

       通过消元得到的结果矩阵C（上图中的第三个矩阵），我们可以写出其方程组的形式：

        

上面方程组可以直接看出，z=-2,然后代入第二个方程得到y=1,再代入第一个方程得到x=2。

       在上面的消元过程中，原始矩阵A经过步骤E21得到矩阵B，矩阵B经过步骤E32得到矩阵C， 我们用矩阵来表示步骤E21，步骤E32，则可以得到：

        

把这两步综合起来得到：

总结，我们令方程组左边的矩阵为D，用初等矩阵E来表示消元操作，用上三角矩阵U表示消元得到的结果，则以上式为例：

二、置换矩阵

      1、行交换：左乘

     2、列交换：右乘

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/39230101

作者：nineheadedbird