该题又是一道经典的最小割问题,不过不是割边而是割点 。问题是:最少删除几个点可以让图不连通 。 我们都知道最大流对应着最小割,所以重点在于建模 。
为了形成割,那么必须让点具有“流量”的性质,怎么做呢? 对,拆点 。 和例题1658类似的方法,我们将每个点拆成两个点,连一条容量为1的边,那么每个点就被赋予了流量的性质,这次我们反而要令边的容量为无穷大,因为要删除点而不是边 。
另外因为我们不知道要割哪两个集合才能使得最大流最小,所以我们可以枚举源点和汇点 。 不过不需要两个点都枚举,只枚举0和剩下的点就可以了,取得的最小的最大流就是使得图不连通的最小割 。 当然,不要忘了令源点和汇点的容量为无穷大,因为我们是不删除这两个点的 。
细节参见代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int INF = 1000000000; const int maxn = 50 * 50 + 55 + 55; int T,cnt,n,m,u,v,dd,ff,bb,t,k,vis[maxn],cur[maxn],d[maxn]; char s[maxn][maxn]; struct Edge { int from, to, cap, flow; }; bool operator < (const Edge& a, const Edge& b) { return a.from < b.from || (a.from == b.from && a.to < b.to); } struct Dinic { int n, m, s, t; vector<Edge> old; vector<Edge> edges; // 边数的两倍 vector<int> G[maxn]; // 邻接表,G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号 bool vis[maxn]; // BFS使用 int d[maxn]; // 从起点到i的距离 int cur[maxn]; // 当前弧指针 void init(int n) { for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0}); edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0}); m = edges.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool BFS() { memset(vis, 0, sizeof(vis)); queue<int> Q; Q.push(s); vis[s] = 1; d[s] = 0; while(!Q.empty()) { int x = Q.front(); Q.pop(); for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) { Edge& e = edges[G[x][i]]; if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) { vis[e.to] = 1; d[e.to] = d[x] + 1; Q.push(e.to); } } } return vis[t]; } int DFS(int x, int a) { if(x == t || a == 0) return a; int flow = 0, f; for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) { Edge& e = edges[G[x][i]]; if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow))) > 0) { e.flow += f; edges[G[x][i]^1].flow -= f; flow += f; a -= f; if(a == 0) break; } } return flow; } int Maxflow(int s, int t) { this->s = s; this->t = t; int flow = 0; while(BFS()) { memset(cur, 0, sizeof(cur)); flow += DFS(s, INF); } return flow; } }; Dinic g; char ss[maxn]; int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { g.init(maxn-2); for(int i=0;i<n;i++) { g.AddEdge(i,i+n,1);//拆点 } int a,b; char c; for(int i=0;i<m;i++) { while(c=getchar(), c!='(' ); scanf("%d%c%d%c",&a,&c,&b,&c); g.AddEdge(a+n,b,INF);//由假结点向真结点连边 g.AddEdge(b+n,a,INF); } int ans = INF ; g.old = g.edges; for(int i=0;i<g.old.size();i++) { if(g.old[i].from == 0 && g.old[i].to == n && g.old[i].cap > 0) { g.old[i].cap = INF; break;//修改源点 } } for(int t=1; t<n; t++) { g.edges = g.old; for(int i=0;i<g.edges.size();i++) { if(g.edges[i].from == t && g.edges[i].to == t + n && g.edges[i].cap > 0) { g.edges[i].cap = INF; break;//修改汇点 } } ans = min(ans,g.Maxflow(0,t+n)); } if(ans == INF) printf("%d\n",n);说明任意一个和0相连的点都无法形成割,只能删除所有点 else printf("%d\n",ans); } return 0; }