KL散度(Kullback-Leibler_divergence)

KL散度(Kullback-Leibler_divergence)

一. 概念

KL-divergence，俗称KL距离，常用来衡量两个概率分布的距离。

根据shannon的信息论，给定一个字符集的概率分布，我们可以设计一种编码，使得表示该字符集组成的字符串平均需要的比特数最少。假设这个字符集是X，对x∈X，其出现概率为P(x)，那么其最优编码平均需要的比特数等于这个字符集的熵：

H(X)=∑_x∈XP(x)log[1/P(x)]

在同样的字符集上，假设存在另一个概率分布Q(X)。如果用概率分布P(X)的最优编码（即字符x的编码长度等于log[1/P(x)]），来为符合分布Q(X)的字符编码，那么表示这些字符就会比理想情况多用一些比特数。KL-divergence就是用来衡量这种情况下平均每个字符多用的比特数，因此可以用来衡量两个分布的距离。即：

D_KL(Q||P)=∑_x∈XQ(x)[log(1/P(x))] - ∑_x∈XQ(x)[log[1/Q(x)]]=∑_x∈XQ(x)log[Q(x)/P(x)]

由于-log(u)是凸函数，因此有下面的不等式

D_KL(Q||P) = -∑_x∈XQ(x)log[P(x)/Q(x)] = E[-logP(x)/Q(x)] ≥ -logE[P(x)/Q(x)] = -log∑_x∈XQ(x)P(x)/Q(x) = 0

即KL-divergence始终是大于等于0的。当且仅当两分布相同时，KL-divergence等于0。

二. 例子

下面举一个实际的例子吧：比如有四个类别，一个方法A得到四个类别的概率分别是0.1,0.2,0.3,0.4。另一种方法B（或者说是事实情况）是得到四个类别的概率分别是0.4,0.3,0.2,0.1,那么这两个分布的KL-Distance(A,B)=0.1*log(0.1/0.4)+0.2*log(0.2/0.3)+0.3*log(0.3/0.2)+0.4*log(0.4/0.1)

这个里面有正的，有负的，可以证明KL-Distance()>=0.

从上面可以看出， KL散度是不对称的。即KL-Distance(A,B)!=KL-Distance(B,A)

KL散度是不对称的，当然，如果希望把它变对称，
Ds(p1, p2) = [D(p1, p2) + D(p2, p1)] / 2 

三. 应用于推荐系统的一个例子

在使用LDA(Latent Dirichlet Allocation)计算物品的内容相似度时，我们可以先计算出物品在话题上的分布，然后利用两个物品的话题分布计算物品的相似度。比如，如果两个物品的话题分布相似，则认为两个物品具有较高的相似度，反之则认为两个物品的相似度较低。计算分布的相似度可以利用KL散度来计算：

D_KL(p||q)=∑_i∈Xp(i)ln(p(i)/q(i),其中p和q是两个分布，KL散度越大说明分布的相似度越低。