《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列 —— O(log n)求Fibonacci数列（非矩阵法）

《编程之美》读书笔记08：2.9 Fibonacci序列

计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的，用浮点数表示无理数本来就有误差，经过n次方后，当n相当大时，误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度，得到的结果根本不准。

用矩阵来计算，虽然时间复杂度降到O(log n)，但要用到矩阵类，相当麻烦。观察：

F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4)

用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用该递推公式和原递推公式，要计算F(n)，只要计算F([n/2])和F([n/2]+1)，时间复杂度为 O(lg n)。如：要计算F(58)，由 58 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2 可知只要算5次。可以用一个栈保存要计算的数，实际上，将n的最高位1（假设在第k位）左边的0去除掉后，第m次要计算的数是第k位到第k-m+1位这m个位组成的值t(m)，则第m-1次要计算的数为t(m-1)，且

t(m)=2*t(m-1)+(第k-m+1位是否为1)。

若第m-1次计算得到了f(k)和f(k+1)，则第m次计算：

 

第k-m+1位	已计算	待计算
1	f(k) f(k+1)	f(2*k+1),f(2*k+2)
0		f(2*k),f(2*k+1)

 

具体公式见下面代码。

下面是计算F(n)最后四位数（某道ACM题）的代码。

 

/* Fibonacci数列第N个数的最后4位数 注意，当 N>93 时 第N个数的值超过64位无符号整数可表示的范围。 F(n+2)=F(n)+F(n-1) F(0)=0 F(1)=1 F(2)=1 ==> F(n)=F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k) ==> F(2*n)=F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=(F(n+1)+F(n-1))*F(n)=(F(n+1)*2-F(n))*F(n) F(2*n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n) F(2*n+2)=F(n+2)*F(n+1)+F(n+1)*F(n)=(F(n+2)+F(n))*F(n+1)=(F(n+1)+F(n)*2)*F(n+1) */ unsigned fib_last4( unsigned num) { if ( num == 0 ) return 0; const unsigned M=10000; unsigned ret=1,next=1,ret_=ret; unsigned flag=1, tt=num; while ( tt >>= 1) flag <<= 1; while ( flag >>= 1 ){ if ( num & flag ){ ret_ = ret * ret + next * next; next = (ret + ret + next) * next; } else { //多加一个M，避免 2*next-ret是负数，造成结果不对 ret_ = (next + next + M - ret) * ret; next = ret * ret + next * next; } ret = ret_ % M; next = next % M; } return ret; }