0048算法笔记——【随机化算法】拉斯维加斯随机化算法求解整数因子分解中的因子分割问题

      问题描述

     设n>1是一个整数。关于整数n的因子分解问题是找出n的如下形式的唯一分解式：。其中，p1<p2<…<pk是k个素数，m1,m2,…,mk是k个正整数。如果n是一个合数，则n必有一个非平凡因子x，1<x<n，使得x可以整除n。给定一个合数n，求n的一个非平凡因子的问题称为整数n的因子分割问题。

    求解思路

     整数因子分解最直观的方法当数“试除法”，数论中的Mertens定理告诉我们76%的奇数都有小于100的素因子，因此对于大多数整数，“试除法”已经足够，但是对于特殊的数，特别是素因子普遍较大的时候，“试除法"的效率便明显不足。和素数检验类似，目前几乎所有实用的分解方法都是概率性的算法, 目标是找到能计算x 的算法, 使得(x,N) > 1 的概率较大(而最大公因子可以很快地计算).      

    试除法因子分割如下：

int Split(int n)
{
	int m = floor(sqrt(double(n)));
	for (int i=2; i<=m; i++)
	{
		if (n%i==0)
		{
			return i;
		}
	}
	return 1;
}

     算法split(n)是对范围在1～x的所有整数进行了试除而得到范围在1～x^2的任一整数的因子分割。 

      Pollard p - 1 方法由Pollard 于1974 年提出，用来找到给定合数n的一个因子d。Pollard算法用于Split(n)相同工作量就可以得到在1～x^4范围内整数的因子分割。具体过程如下：在开始时选取0～n-1范围内的随机数，然后递归地由
产生无穷序列对于i=2^k，以及2^k<j<=2^(k+1)，算法计算出xj-xi与n的最大公因子d=gcd(xj-xi，n)。如果d是n的非平凡因子，则实现对n的一次分割，算法输出n的因子d。

     算法具体实现如下：

     1、RandomNumber.h

#include"time.h"
//随机数类
const unsigned long maxshort = 65536L;
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 12345L;

class RandomNumber
{
	private:
		//当前种子
		unsigned long randSeed;
	public:
		RandomNumber(unsigned long s = 0);//构造函数，默认值0表示由系统自动产生种子
		unsigned short Random(unsigned long n);//产生0：n-1之间的随机整数
		double fRandom(void);//产生[0,1)之间的随机实数
};

RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)//产生种子
{
	if(s == 0)
	{
		randSeed = time(0);//用系统时间产生种子
	}
	else
	{
		randSeed = s;//由用户提供种子
	}
}

unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)//产生0：n-1之间的随机整数
{
	randSeed = multiplier * randSeed + adder;//线性同余式
	return (unsigned short)((randSeed>>16)%n);
}

double RandomNumber::fRandom(void)//产生[0,1)之间的随机实数
{
	return Random(maxshort)/double(maxshort);
}

     2、7d4d2.cpp

//随机化算法 拉斯维加斯算法 因子分割问题
#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <iostream>
using namespace std;

//求整数a和b最大公因数的欧几里得算法
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		return a;
	}
	else
	{
		return gcd(b,a%b);
	}
}

//求整数n因子分割的拉斯维加斯算法
void Pollard(int n)
{
	RandomNumber rnd;
	int i = 1;
	int x = rnd.Random(n);			//随机整数
	int y = x;
	int k = 2;

	while(true)
	{
		i++;
		x = (x*x - 1) % n;			//x[i]=(x[i-1]^2-1) mod n
		int d = gcd(y-x,n);			//求n的非平凡因子

		if((d>1) && (d<n))
		{
			cout<<d<<endl;//因子分割问题：求n的[一]个非平凡因子的问题
			return;
		}

		if(i == k)
		{
			y = x;
			k *= 2;
		}
	}
}

int main()
{
	int n = 1024;
	cout<<n<<"的非平凡因子："<<endl;
	Pollard(n);
	return 0;
}

     对Pollard算法更深入的分析可知，执行算法的while循环约次后，Pollard算法会输出n的一个因子p。由于n的最小素因子，故Pollard算法可在O(n^(1/4))时间内找到n的一个素因子。

     程序运行结果如图：