关于24点游戏的编程思路与基本算法

      24点游戏的算法，其中最主要的思想就是穷举法。所谓穷举法就是列出4个数字加减乘除的各种可能性，包括括号的算法。我们可以将表达式分成以下几种：首先我们将4个数设为a，b，c，d，，其中算术符号有+，-，*，/，。其中有效的表达式有a，ab-cd，等等。列出所有有效的表达式。其中我们用枚举类型将符号定义成数字常量，比如用1表示+，2表示-等。如下是我对穷举法的一种编程语言。在编程的头部要对变量做下定义。其中a，b，c，d的范围是1到10。这就需要在定义变量的时候要有限制。在vc++中的编程中，在定义控件的变量范围可以直接填写变量的最大和最小，在此编程中的最大是10，最小是1。这就给编程写语句带来了方便。 

     运用C/C++语言开发工具Microsoft Visual C++ 6.0，利用它简单、明了的开发特点对课本知识进行系统的实践，并且通过对各个知识点的运用进行所需的程序编写。首先，要充分理解每个程序涉及的算法，牢记实现算法的每一个步骤；其次，再在计算机上利用C语言编写出代码，要求结构清晰，一目了然；最后，要对程序进行优化，使程序实现优秀的运行功能。在编写程序的过程中要充分理解并能熟练使用对应的算法，竟可能多的涉及课本中的知识点。总之通过实行整体方案，最终使程序达到运行状态，并且实现良好的运行效果。

     故做了如下的计划安排，将这项工程分为两大部分：程序的设计和程序的调试。

首先在程序的设计部分由分为几个步骤：

• 第一步：查阅有关归并排序算法的资料。

• 第二步：设计这个项目的整体架构和算法。

• 第三步：选择一门程序设计语言进行算法的描述。

其次，进行程序的调试。

设计方法和内容

在做某件事时，一个好的方法往往能起到事半功倍的效果。在这个课程的设计上，我选择了Ｃ++语言作为算法的描述语言，因为Ｃ++语言具有丰富的表达能力以及代码的高效性，并且有着良好的移植性和灵活性。同时，采用“自顶向下，个个击破”的程序设计思路和思想，充分运用Ｃ++语言强大的功能。使该课程设计做起来更加的简单。

我将这个课程设计整体分成了两个部分。一个是数据结构定义部分和算法部分。这两大部分有机的结合共同构成了该课程设计的程序，运行该程序就可以将该课程设计的功能实现了。

程序的设计思想和内容

（一）算法一：

24点游戏的算法，其中最主要的思想就是穷举法。所谓穷举法就是列出4个数字加减乘除的各种可能性。我们可以将表达式分成以下几种：首先我们将4个数设为a,b,c,d,，将其排序列出四个数的所有排序序列组合（共有A₄⁴⁼24种组合）。再进行符号的排列表达式，其中算术符号有+，—，*，/，（，）。其中有效的表达式有a*(b-c/b)，a*b-c*d,等等。列出所有有效的表达式。其中我们用枚举类型将符号定义成数字常量。如下是我对穷举法的一种编程语言。在编程的头部要对变量做下定义。其中a,b,c,d的范围是1到10。这就需要在定义变量的时候要有限制。在vc++中的MFC编程中，在定义控件的变量范围可以直接填写变量的最大和最小，在此编程中的最大是10，最小是1。这就给编程写语句带来了方便（因为其自动会生成语句）。下面我介绍下穷举法的主要实现，我们知道要实现24点的算法，就是通过4个数字，4个运算符号和2对括号（最多为2对），通过各种组合判断其结果是否为24。我们用a，b，c,d代替4个数字。考虑每种可能，总的算法就有7种可能。分别为：

1没括号的（形如a*b*c*d）；

2有括号的（形如(a * b) * c * d）；

3有括号的（形如(a * b * c) * d）；

4有括号的（形如a * (b * c) * d）；

5有括号的（形如(a * b) * (c * d)）；

6有括号的（形如((a * b) * c) * d）；

7有括号的（形如(a * (b * c)) * d）。

接下来就是对每一种进行分析判断。

以上就是穷举法的基本实现算法

首先穷举的可行性问题。我把表达式如下分成三类：

1、 列出四个数的所有排序序列组合（共有A₄⁴⁼24种组合）。

2、 构筑一个函数，列出所有运算表达式。

3、 输入数据计算。

（二）算法二：

24点游戏的算法，还有另外一种算法。

把多元运算转化为两元运算，先从四个数中取出两个数进行运算，然后把运算结果和第三个数进行运算，再把结果与第四个数进行运算。在求表达式的过程中，最难处理的就是对括号的处理，而这种思路很好的避免了对括号的处理。基于这种思路的一种算法：

因为能使用的4种运算符 – * / 都是2元运算符，所以本文中只考虑2元运算符。2元运算符接收两个参数，输出计算结果，输出的结果参与后续的计算。

　　由上所述，构造所有可能的表达式的算法如下：

　　(1) 将4个整数放入数组中

　　(2) 在数组中取两个数字的排列，共有 P(4,2) 种排列。对每一个排列，

　　(2.1) 对 – * / 每一个运算符，

　　(2.1.1) 根据此排列的两个数字和运算符，计算结果

　　(2.1.2) 改表数组：将此排列的两个数字从数组中去除掉，将 2.1.1 计算的结果放入数组中

　　(2.1.3) 对新的数组，重复步骤 2

　　(2.1.4) 恢复数组：将此排列的两个数字加入数组中，将 2.1.1 计算的结果从数组中去除掉

　　可见这是一个递归过程。步骤 2 就是递归函数。当数组中只剩下一个数字的时候，这就是表达式的最终结果，此时递归结束。

　　在程序中，一定要注意递归的现场保护和恢复，也就是递归调用之前与之后，现场状态应该保持一致。在上述算法中，递归现场就是指数组，2.1.2 改变数组以进行下一层递归调用，2.1.3 则恢复数组，以确保当前递归调用获得下一个正确的排列。

　　括号 () 的作用只是改变运算符的优先级，也就是运算符的计算顺序。所以在以上算法中，无需考虑括号。括号只是在输出时需加以考虑。

void Find(int n) {
	if (n == 1) {
		if ( fabs(number[0] - VOLUE) <= LING ) //对于除法，要小心小数的精确位数
		{ cout << exp[0] << "\t\t";
		m_judge = true;
		count ++;
		if((count % 3)==0) //使输出时每行三个表达式
			cout<<endl;
		}
		else
		{ }
	}
	for(int i=0; i < n; i++) {
		for (int j = i + 1; j < n; j++) {
			double a, b;
			string expa, expb;
			a = number[i];
			b = number[j];
			number[j] = number[n - 1]; //递归之后，n比以前小一位，所以可以不停向前赋值
			expa = exp[i];
			expb = exp[j];
			exp[j] = exp[n - 1]; //递归之后，n比以前小一位，所以可以不停向前赋值
			exp[i]= '('+ expa + '+' + expb + ')'; //加法不需要分顺序
			number[i] = a + b;
			Find(n-1);
			exp[i]='('+ expa+ '-' + expb + ')'; //减法应该分顺序，减数以及被减数
			number[i] = a - b;
			Find(n-1);
			exp[i] = '('+expb + '-' + expa + ')'; //减法应该分顺序，减数以及被减数
			number[i] = b -a;
			Find(n-1);
			exp[i]= '('+ expa +'*'+ expb+ ')'; //乘法不需要分顺序
			number[i]=a*b;
			Find(n-1);
			if (b != 0) {
				exp[i] ='('+expa+'/' + expb + ')'; //除法应该分顺序，除数以及被除数
				number[i] = a / b;
				Find(n-1);
			}
			if (a != 0) {
				exp[i]='('+expb + '/'+ expa + ')'; //除法应该分顺序，除数以及被除数
				number[i] = b / a;
				Find(n-1);
			}
			number[i] =a; //这4句语句是为了防止如果上面几种可能都失败了的话,
			number[j]=b; //就把原来的赋值撤消回去,以无干扰的正确的进入到下一次
			exp[i] = expa; //for循环队列中。
			exp[j] = expb; //
		}
	}
}

附录A 原程序代码

算法一：

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{ float a,b,c,d;
m_ret: //做标记
cout<<"请输入4个数据"<<endl;
cout<<" 第一个数：";
cin>>a;
cout<<" 第二个数：";
cin>>b;
cout<<" 第三个数：";
cin>>c;
cout<<" 第四个数：";
cin>>d;
cout<<"输出所有算法如下："<<endl;
if ((a<0)||(a>10)||(b<0)||(b>10)||(c<0)||(c>10)||(d<0)||(d>10))
{ cout<<"你输入的输入不对，重新输入"<<endl;
goto m_ret; } // 返回标记，重复输入
int Calculate ( float x, float y, float z, float w); // a .b.c.d 的所有排列组合情况
Calculate(a,b,c,d); Calculate(a,b,d,c); Calculate(a,c,d,b);
Calculate(a,c,b,d); Calculate(a,d,b,c); Calculate(a,d,c,b);
Calculate(b,a,c,d); Calculate(b,a,d,c); Calculate(b,c,a,d);
Calculate(b,c,d,a); Calculate(b,d,c,a); Calculate(b,d,a,c);
Calculate(c,a,b,d); Calculate(c,a,d,b); Calculate(c,b,d,a);
Calculate(c,b,a,d); Calculate(c,d,a,b); Calculate(c,d,b,a);
Calculate(d,a,b,c); Calculate(d,a,c,b); Calculate(d,b,c,a);
Calculate(d,b,a,c); Calculate(d,c,a,b); Calculate(d,c,b,a);
return 0; }
int Calculate ( float x, float y, float z, float w) //运算表达式的所有情况
{ 
	if (x+y+z+w==24) cout<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<"+"<<w<<"=24"<<endl;
	else if (x+y+z-w==24) cout<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x+y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
	else if ((x-y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
	else if ((x-y)*(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<")*("<<z<<"-"<<w<<")=24"<<endl;
	else if ((x+y+z)*w==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<"+"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x-y-z)*w==24) cout<<"("<<x<<"-"<<y<<"-"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x+y-z)*w==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<"-"<<z<<")*"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y*z)/w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<"*"<<z<<")/"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)*(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<"+"<<w<<")=24"<<endl;
	else if ((x*y)*(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<"-"<<w<<")=24"<<endl;
	else if ((x*y)*z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<")-"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)*z+w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")*("<<z<<")+"<<w<<"=24"<<endl;
	else if (x*y*z*w==24) cout<<x<<"*"<<y<<"*"<<z<<"*"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x+y)+(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")+("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x+y)*(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"+"<<y<<")*("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)+z+w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+"<<z<<"+"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)+z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)-(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)+(z/w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"/"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)-z-w==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-"<<z<<"-"<<w<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)+(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")+("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)-(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")-("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)/(z*w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"*"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)/(z-w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"-"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else if ((x*y)/(z+w)==24) cout<<"("<<x<<"*"<<y<<")/("<<z<<"+"<<w<<")"<<"=24"<<endl;
	else cout<<"不可以组成24"<<endl;
return 0; 
}

算法二：

#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
using namespace std;
const double LING = 1E-6;
const int CONT = 4;
const int VOLUE = 24;
double number[CONT];
string expression[CONT];
bool m_judge = false; //判断是否有解。
int count = 0;
void Find(int n)
{
	if (n == 1)
	{
		if ( fabs(number[0] - VOLUE) <= LING )
		{
			cout << expression[0] << "\t\t";
			m_judge = true;
			count ++;
			if((count % 3)==0) //使输出时每行三个表达式
				cout<<endl;
		}
		else
		{ }
	}
	for(int i=0; i < n; i++)//查找
	{
		for (int j = i + 1; j < n; j++)//与其后面的查找进行计算
		{
			double a, b;
			string expressiona, expressionb;
			a = number[i];
			b = number[j];
			number[j] = number[n - 1];
			expressiona = expression[i];
			expressionb = expression[j];
			expression[j] = expression[n - 1];
			expression[i]= '('+ expressiona + '+' + expressionb + ')';
			number[i] = a + b;
			Find(n-1);
			expression[i]='('+ expressiona+ '-' + expressionb + ')';
			number[i] = a - b;
			Find(n-1);
			expression[i] = '('+expressionb + '-' + expressiona + ')';
			number[i] = b -a;
			Find(n-1);
			expression[i]= '('+ expressiona +'*'+ expressionb+ ')';
			number[i]=a*b;
			Find(n-1);
			if (b != 0)
			{
				expression[i] ='('+expressiona+'/' + expressionb + ')';
				number[i] = a / b;
				Find(n-1);
			}
			if (a != 0)
			{
				expression[i]='('+expressionb + '/'+ expressiona + ')';
				number[i] = b / a;
				Find(n-1);
			}
			number[i] =a;
			number[j]=b;
			expression[i] = expressiona;
			expression[j] = expressionb;
		}
	}
}
int main()
{
	cout<<"请输入四个数:\n";
	for (int i = 0; i < CONT; i++)
	{
		char ch[20];
		cout<<"第"<<i+1<<"个数:";
		cin >>number[i];
		itoa(number[i],ch, 10); //itoa()函数的作用是把第一个参数(数值)传送(转换)到第二个参数(字符串)中去，第三个参数(int型)是该数值在字符串里以什么进制存放。
		expression[i] = ch;
	}
	cout<<endl;
	Find(CONT) ;
	if(m_judge==true)
	{
		cout << "\n成功！" << endl;
		cout<<"总共的计算方法共有： "<<count<<endl;
	}
	else
	{
		cout << "失败！" << endl;
	}
	return 0;
}