Graham 扫描法求凸包

维基百科中对凸包的定义及相关概念

现在的问题是给你n个点（直角坐标系下），求他们构成的凸包。

方法：

1、先找出所有的点中y坐标最小的点，要是有多个的话，就选x坐标最小的点。我们把它叫做基点。

2、依次求出所有的点到基点的距离len及所有的点与基点构成的向量与向量(1,0)即x轴上的单位向量的夹角的余弦值theta，然后根据余弦值的大小排序。

3、将排好序的点再做一次处理：把所有的theta值相等的点，只保留距离基点最远的点，也就是len最大的点。

4、先将前三个点进栈，然后依次扫描后面的点，利用叉积的几何意义判断栈中最上面的点是否合法，因为我是逆时针扫描的，假设栈顶的点是p1，栈顶的下一个点是p2，后面的还没进栈的点为p，所以就只需判断(向量p1p2)X(向量p1p)的值是否为负，如果为负，就把栈顶的元素删除，然后再判断下一个栈顶的元素是否合法……直到合法为止，最后 将p这个点入栈(注意，不管栈顶的元素是否合法，p最终都是要进栈的)

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define INF 1000000
#define N 1000
#define EPS 1e-6
using namespace std;
struct point
{
    int x,y;  //横纵坐标 : x,y
    double len,theta;  //与参考点的距离 len 与参考点构成的向量与 (1,0)向量构成的夹角的余弦值 theta
}g[N]; //定义了一个全局变量，记录凸包中的点
/*--------按余弦值，从大到小快速排序--------*/
void qsort(int st,int en)
{
    int i=st,j=en;
    g[0]=g[i];
    while(i<j)
    {
        while(i<j && g[0].theta>=g[j].theta) j--;
        if(i<j) { g[i]=g[j]; i++; }
        while(i<j && g[0].theta<=g[i].theta) i++;
        if(i<j) { g[j]=g[i]; j--; }
    }
    g[i]=g[0];
    if(st<i-1) qsort(st,i-1);
    if(i+1<en) qsort(i+1,en);
}

/*-----------Graham 扫描法-------------*/
void graham(int *n)
{
    /*第一步，寻找y坐标最小，然后x坐标最小的点*/
    int p=1;
    for(int i=2;i<=*n;i++)
      if((g[i].y<g[p].y)||(g[i].y==g[p].y && g[i].x<g[p].x)) p=i;
    g[0]=g[p]; g[p]=g[1]; g[1]=g[0];
    /*找到该点，并把它存放在 g 中的第一个元素的位子上*/
    
    /*第二步，计算所有的点距离参考点的距离(len) 还有夹角的余弦值 (theta)*/
    for(int i=2;i<=*n;i++)
    {
        g[i].len=sqrt((g[i].x-g[1].x)*(g[i].x-g[1].x)+(g[i].y-g[1].y)*(g[i].y-g[1].y));
        g[i].theta=100*(g[i].x-g[1].x)/g[i].len;
    }
    qsort(2,*n);//先根据夹角的余弦值从大到小排序
    
    /*第三步，将所有theta值相等的点，只保存len值最大的，存放在数组map中*/
    point map[N];
    int tot=0; p=1;
    while(p<=*n)
    {
        int k=p;
        while(fabs(g[p].theta-g[p+1].theta)<=EPS)
        {
            if(g[p+1].len>g[k].len) k=p+1;
            p++;
        }
        map[++tot]=g[k];
        p++;
    }
    
    /*第四步，对map中的元素扫描一遍，确定凸包的元素，放在数组g中*/
    *n=tot; tot=3; //先做了一个小小的处理，使得自己更好理解
    memset(g,0,sizeof(g));
    g[1]=map[1]; g[2]=map[2]; g[3]=map[3]; //先将前三个点入栈 g 
    for(int i=4;i<=*n;i++)  //依次用map中的每个点对g中的点进行一次判断，看是否是属于凸包
    {
        double chaji=(g[tot].x-g[tot-1].x)*(map[i].y-g[tot].y)-(map[i].x-g[tot].x)*(g[tot].y-g[tot-1].y);
        for(;chaji<=0 && tot>=1;) //如果旋转的方向不同，g[tot]这个点就不是，删除,并继续判断 g 中下一个点是不是
        {
            tot--;
            chaji=(g[tot].x-g[tot-1].x)*(map[i].y-g[tot].y)-(map[i].x-g[tot].x)*(g[tot].y-g[tot-1].y);
        }
        g[++tot]=map[i]; //将map[i]这个点入栈，至于是否是属于凸包中的点，等待以后的点来判断
    }
    *n=tot;//凸包处理完，总共有tot个凸包上的点
}
int main()
{
    //freopen("C:/Users/chengfeng/Desktop/in.txt","r",stdin);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&g[i].x,&g[i].y);
        graham(&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("(%2d,%2d)\n",g[i].x,g[i].y);
    }
    return 0;
}