小数问题

本文的主要内容是探讨关于小数的一些问题,先介绍小数与分数的转化,然后再来探讨小数循环节等问题。其中涉及

到一些数论的内容,本文会进行详细介绍。


题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1717


题意:给定一个纯小数,将其转化为分数输出。


代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 15;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void DecimalToFraction(char str[])
{
    int a = 0;
    int b = 0;
    int L1 = 0;
    int L2 = 0;
    int len = strlen(str);
    for(int i = 2; i < len; i++)
    {
        if(str[i] == '(') break;
        a = a * 10 + str[i] - '0';
        L1++;
    }
    bool flag = 0;
    for(int i = 2; i < len; i++)
    {
        if(str[i] == '(' || str[i] == ')')
        {
            flag = 1;
            continue;
        }
        b = b * 10 + str[i] - '0';
        L2++;
    }
    L2 -= L1;
    int p = b - a;
    int q = 0;
    if(!flag)
    {
        p = b;
        q = 1;
        L2 = 0;
    }
    for(int i = 0; i < L2; i++)
        q = q * 10 + 9;
    for(int i = 0; i < L1; i++)
        q = q * 10;
    int g = gcd(p, q);
    p /= g;
    q /= g;
    printf("%d/%d\n", p, q);
}

int main()
{
    int T;
    char str[N];
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s", str);
        DecimalToFraction(str);
    }
    return 0;
}

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2522


题意:给定一个分数,将其转化为小数。本题需要用到如下定理


    小数问题_第1张图片


代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 100005;

void FractionToDecimal(int n)
{
    //负数标识
    bool isNeg = 0;
    if(n < 0)
    {
        n = -n;
        isNeg = 1;
    }

    int res[N], ok[N];
    memset(res, 0, sizeof(res));
    memset(ok, 0, sizeof(ok));
    int k = 1;
    ok[k] = 1;
    int cnt = 0;
    while(k && n != 1)
    {
        k *= 10;
        res[cnt++] = k / n;
        k %= n;
        if(ok[k]) break;
        ok[k] = 1;
    }
    if(isNeg) printf("-");
    if(n == 1) puts("1");
    else
    {
        printf("0.");
        for(int i = 0; i < cnt; i++)
            printf("%d", res[i]);
        puts("");
    }
}

int main()
{
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        FractionToDecimal(n);
    }
    return 0;
}

题目:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1037


题意:求小于等于的数中倒数循环节长度最长的那个数,其中


分析:从上题的定理看,我们需要在小于等于的数中找一个数,使得同余方程的最小正

     整数解最大。很明显,此方程的最大正整数解为,如果10为模的一个原根,那么将得到方程的最

     小正整数解为,这时得到的循环节当然也就最长。


     设小于等于且原根为10的最大的素数为。接下来,看似只需要枚举闭区间内的每个数

     出满足余方程最小正整数解为的所有数,然后取循环节长度最大的那个


     但是遗憾的是,枚举的数可能比较多,而且每次枚举都需要解同余方程,时间花费很多。实际上只需要枚举

     原根存在的。根据数论原根中的一个定理


       


     根据上题的定理知道,肯定不含有2,所以只需要枚举形如的数即可。


     我们要在闭区间内找形如且原根为10的所有。如果原根为10,那么同余方程的最小正整数解

     为,也是小数循环节的长度,在数论欧拉函数章节中,学过


     综上所述,本题思路为:从开始往下枚举,直到为素数且10为模的一个原根时停止,判

     否形如,如果是,进一步验证是否的最小正整数解,最终取循环节长度最大

     的


代码:

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <vector>

const int Times = 10;
const int N = 1000005;

using namespace std;
typedef long long LL;

bool prime[N];
int p[N];
int cnt;

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b? gcd(b, a % b) : a;
}

LL multi(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 0;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = (ans + a) % m;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = (a + a) % m;
    }
    return ans;
}

LL quick_mod(LL a, LL b, LL m)
{
    LL ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = multi(ans, a, m);
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = multi(a, a, m);
    }
    return ans;
}

bool Miller_Rabin(LL n)
{
    if(n == 2) return true;
    if(n < 2 || !(n & 1)) return false;
    LL m = n - 1;
    int k = 0;
    while((m & 1) == 0)
    {
        k++;
        m >>= 1;
    }
    for(int i = 0; i < Times; i++)
    {
        LL a = rand() % (n - 1) + 1;
        LL x = quick_mod(a, m, n);
        LL y = 0;
        for(int j = 0; j < k; j++)
        {
            y = multi(x, x, n);
            if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;
            x = y;
        }
        if(y != 1) return false;
    }
    return true;
}

LL pollard_rho(LL n, LL c)
{
    LL i = 1, k = 2;
    LL x = rand() % (n - 1) + 1;
    LL y = x;
    while(true)
    {
        i++;
        x = (multi(x, x, n) + c) % n;
        LL d = gcd((y - x + n) % n, n);
        if(1 < d && d < n) return d;
        if(y == x) return n;
        if(i == k)
        {
            y = x;
            k <<= 1;
        }
    }
}

void find(LL n, int c, vector<LL> &pri)
{
    if(n == 1) return;
    if(Miller_Rabin(n))
    {
        pri.push_back(n);
        return ;
    }
    LL p = n;
    int k = c;
    while(p >= n) p = pollard_rho(p, c--);
    find(p, k, pri);
    find(n / p, k, pri);
}

void Divide(LL n, vector<LL> &pri, vector<int> &num)
{
    find(n, 120, pri);
    sort(pri.begin(), pri.end());
    num.push_back(1);
    int k = 1;
    for(int i = 1; i < pri.size(); i++)
    {
        if(pri[i] == pri[i - 1])
            ++num[k - 1];
        else
        {
            num.push_back(1);
            pri[k++] = pri[i];
        }
    }
    pri.resize(num.size());
}

void SearchFactor(int dept, LL ans, vector<LL> &pri, vector<int> &num, vector<LL> &fac)
{
    if(dept == num.size())
    {
        fac.push_back(ans);
        return;
    }
    for(int i = 0; i <= num[dept]; i++)
    {
        SearchFactor(dept + 1, ans, pri, num, fac);
        ans *= pri[dept];
    }
}

vector<LL> FindFactor(LL n)
{
    int cnt;
    vector<LL> pri;
    vector<int> num;
    vector<LL> fac;
    Divide(n, pri, num);
    SearchFactor(0, 1, pri, num, fac);
    sort(fac.begin(), fac.end());
    return fac;
}

//素数筛选
void PrimeFilter()
{
    cnt = 0;
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j = i + i; j < N; j += i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

bool Judge(LL m, LL &phi, bool &isprime)
{
    // p^1
    if(Miller_Rabin(m))
    {
        phi = m - 1;
        isprime = true;
        return true;
    }

    //p^2
    LL srt = (LL)sqrt(1.0 * m);
    if(srt * srt == m && Miller_Rabin(srt))
    {
        phi = srt * (srt - 1);
        return true;
    }

    //p^3, p^4, ...
    LL tm = m;
    LL fm = 1;
    for(int i = 0; i < cnt; i++)
    {
        if(tm % p[i] == 0)
        {
            fm = p[i];
            while(tm % p[i] == 0)
            {
                tm /= p[i];
                fm *= p[i];
            }
            if(tm == 1)
            {
                phi = fm - fm / p[i];
                return true;
            }
            break;
        }
    }
    return false;
}

bool Success(LL m, LL &loop, bool &ok)
{
    LL phi = 0;
    bool isprime = false;
    if(!Judge(m, phi, isprime))
        return false;

    LL res = 0;
    vector<LL> fac = FindFactor(phi);
    for(int i = 0; i < fac.size(); i++)
    {
        if(quick_mod(10, fac[i], m) == 1)
        {
            res = fac[i];
            break;
        }
    }
    if(res != phi)
        return false;
    loop = phi;
    if(isprime)
        ok = true;
    return true;
}

int main()
{
    LL n;
    PrimeFilter();
    while(scanf("%I64d", &n) != EOF)
    {
        n++;
        bool ok = 0;
        LL ans = 0;
        LL res = 0;
        while(n--)
        {
            LL loop = 0;
            if(Success(n, loop, ok))
            {
                if(ans < loop)
                {
                    ans = loop;
                    res = n;
                }
                if(ok)
                {
                    printf("%I64d\n", res);
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}


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