旋转矩阵

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旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。

目录

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  • 1 性质
  • 2 二维空间
  • 3 三维空间
    • 3.1 Roll, Pitch 和 Yaw
    • 3.2 角-轴表示和四元数表示
    • 3.3 欧拉角表示
    • 3.4 对称保持 SVD 表示
  • 4 参见
  • 5 外部链接

[编辑]性质

设  是任何维的一般旋转矩阵: 

  • 两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:
  • 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵:
    这里的   是单位矩阵。
  • 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是 ±1；如果行列式是 −1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。
  • 旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成  的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。
    正交矩阵定义见线性代数笔记3.4节