求向量的欧拉范数

求欧拉范数是一个比较简单的算法，似乎没有什么可说的，一般代码如下：

/* * \fn double enorm1(long n, const double* x)
* \brief 求欧拉范数，简单算法。
* \param [in] n 向量长度
* \param [in] x 向量值
* \return 欧拉范数
*/
double enorm1( long n, const double * x)
{
     double ret = 0.0 ;
     long i = 0 ;
     for (i = 0 ; i < n; ++ i)
        ret += x[i] * x[i];

     return sqrt(ret);
}

然而近日在学习minpack时，发现它求欧拉范数的函数enorm则要复杂得多。仔细比较发现上面算法有不足，它没有考虑溢出的情况，当x[i]为很小或者很大的数时，x[i]*x[i]则会下溢或者上溢，最后结果可能不准确。但x[i]*x[i]只是中间结果，最后的范数数量级应该和x[i]相同。它溢出的可能性要小得多。改进中间结果则可以改进算法。

/* * \fn double enorm2(long n, const double* x)
* \brief 求欧拉范数，考虑溢出的算法。
* \param [in] n 向量长度
* \param [in] x 向量值
* \return 欧拉范数
*/
double enorm2( long n, const double * x)
{
     double ret = 0.0 ;
     long i = 0 ;
     double xmax = 0.0 ;

     for (i = 0 ; i < n; ++ i)
    {
         double xabs = fabs(x[i]);

         /* 这个比较方式不需要考虑xabs和xmax为0的情况 */
         if (xabs < xmax)
        {
            ret += (xabs / xmax) * (xabs / xmax);
        }
         else if (xabs == xmax)
        {
            ret += 1 ;
        }
         else
        {
            ret = 1 + ret * (xmax / xabs) * (xmax / xabs);
            xmax = xabs;
        }
    }
     return sqrt(ret) * xmax;
}

将中间结果改成(x[i]/xmax)*(x[i]/xmax)，降低了溢出的可能。当然该算法没有区分可能溢出和不溢出的数，计算量较大。下面的算法是仿照minpack的enorm函数编写：

/* * \fn double enorm3(long n, const double* x)
* \brief 求欧拉范数，仿照minpack的enorm函数
* \param [in] n 向量长度
* \param [in] x 向量值
* \return 欧拉范数
*/
double enorm3( long n, const double * x)
{
     double s1 = 0.0 ;
     double s2 = 0.0 ;
     double s3 = 0.0 ;

     /* 上溢和下溢的边界，不一定要十分精确 */
     const double dwarf = 1.483e-154 ;     /* 下溢的边界 */
     const double giant = 1.341e154 / n; /* 上溢的边界 */

     double x1max = 0.0 ;
     double x3max = 0.0 ;

     long i = 0 ;
     for (i = 0 ; i < n; ++ i)
    {
         double xabs = fabs(x[i]);

         if (xabs > dwarf && xabs < giant)
        {
            s2 += xabs * xabs;
        }
         else if (xabs <= dwarf)
        {
             /* 这个比较方式不需要考虑xabs和xmax为0的情况 */
             if (xabs < x3max)
            {
                s3 += (xabs / x3max) * (xabs / x3max);
            }
             else if (xabs == x3max)
            {
                s3 += 1 ;
            }
             else
            {
                s3 = 1 + s3 * (x3max / xabs) * (x3max / xabs);
                x3max = xabs;
            }
        }
         else /* if (xabs >= giant) */
        {
             /* 不需要考虑xabs和xmax为0的情况 */
             if (xabs <= x1max)
            {
                s1 += (xabs / x1max) * (xabs / x1max);
            }
             else if (xabs == x1max)
            {
                s1 += 1 ;
            }
             else
            {
                s1 = 1 + s1 * (x1max / xabs) * (x1max / xabs);
                x1max = xabs;
            }
        }
    }

     if (s1 != 0.0 )
    {
         return x1max * sqrt(s1 + s2 / x1max / x1max);
    }
     else if (s2 != 0.0 )
    {
         return sqrt(s2 + x3max * x3max * s3);
         /* 下面为minpack中enorm的代码，好像没有必要
        if (s2 >= x3max)
            return sqrt(s2 * (1 + x3max/s2*x3max*s3));
        else
            return sqrt(x3max * (s2/x3max + x3max*s2));
         */
    }
     else
    {
         return x3max * sqrt(s3);
    }
}

下面是测试结果：

<td style="BORDER-RIGHT: rgb(0,0,0) 0.5pt solid; PADDING-RIGHT: 5.4pt; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 5.4pt; PADDING-BOTTOM: 0pt; BO

向量	enorm1	enorm2	enorm3
{1, 2, 3}	3.74166	3.74166	3.74166
{1e200, 2e200, 3e200}	1.#INF
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