指数循环节问题
今天来学习一个新的东西---指数循环节。在有些题目中我们需要对指数进行降幂处理才能计算。比如计算
其中
和
这里由于
很大，所以需要进行降幂。那么实际上有如下降幂公式
有了上述公式，很多题目就可以迎刃而解了。
题目：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759
题意：给定
，
和
的值，求
的值。其中
，
。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
typedef long long LL;
char str[N];
int phi(int n)
{
int rea = n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n % i == 0)
{
rea = rea - rea / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans = 0;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = (ans + a) % m;
b--;
}
b >>= 1;
a = (a + a) % m;
}
return ans;
}
LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = multi(ans,a,m);
b--;
}
b >>= 1;
a = multi(a,a,m);
}
return ans;
}
void Solve(LL a,char str[],LL c)
{
LL len = strlen(str);
LL ans = 0;
LL p = phi(c);
if(len <= 15)
{
for(int i=0; i<len; i++)
ans = ans * 10 + str[i] - '0';
}
else
{
for(int i=0; i<len; i++)
{
ans = ans * 10 + str[i] - '0';
ans %= p;
}
ans += p;
}
printf("%I64d\n",quick_mod(a,ans,c));
}
int main()
{
LL a,c;
while(~scanf("%I64d%s%I64d",&a,str,&c))
Solve(a,str,c);
return 0;
}
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2837
题意：给定一个递归式
，其中
，
，求
的值。
分析：本题方法比较明确，先已一直递归上去，直到
，然后从上面再一步一步走回来，每一步都可以进行指
数降幂，这里需要判断。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int phi(int n)
{
int rea = n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n % i == 0)
{
rea = rea - rea / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = ans * a % m;
b--;
}
b >>= 1;
a = a * a % m;
}
return ans;
}
LL check(LL a,LL b,LL p)
{
LL ans = 1;
for(int i=1; i<=b; i++)
{
ans *= a;
if(ans >= p)
return ans;
}
return ans;
}
LL dfs(LL n,LL m)
{
LL p = phi(m);
if(n < 10) return n;
LL x = dfs(n / 10, p);
LL y = check(n % 10, x, m);
if(y >= m)
{
LL ans = quick_mod(n % 10, x + p, m);
if(ans == 0)
ans += m;
return ans;
}
else
return y;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
LL n,m;
cin>>n>>m;
cout<<dfs(n,m) % m<<endl;
}
return 0;
}
题目：http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=691
题意：给定一个数组
，然后有
，求如下表达式的值
分析：方法基本跟上题一样，就不多说了。注意特殊处理
的情况。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 105;
LL a[N],p[N];
LL phi(LL n)
{
LL rea = n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n % i == 0)
{
rea = rea - rea / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
void Init(LL m)
{
p[0] = m;
for(int i=1; i<N; i++)
p[i] = phi(p[i-1]);
}
LL Solve(int dept,bool &f)
{
LL m = p[dept];
if(m == 1)
{
if(a[dept] > 1) f = 1;
else f = 0;
return 0;
}
if(a[dept] >= m)
{
f = 1;
return 0;
}
LL t = 1;
bool flag = 0;
for(int i=1;i<=a[dept];i++)
{
t = t * i;
if(t >= p[dept])
{
flag = 1;
t %= m;
}
}
LL d = Solve(dept+1,f);
if(f) d += phi(m);
LL ans = 1;
f = 0;
for(int i=0;i<d;i++)
{
ans = ans * t;
if(ans >= m)
{
f = 1;
ans %= m;
}
if(flag) f = 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
LL n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<n; i++)
cin>>a[i];
if(m == 1)
{
puts("0");
continue;
}
Init(m);
bool f;
cout<<Solve(0,f)<<endl;
}
return 0;
}
题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1674
题意：已知
，
，
，给定
和
，求
的值，并且有条件
成立。
分析：本题方法很巧妙，由于
。本题就要用到这个，设
那么有
可以看出
又是
的一个子问题，这样一直递归下去最终求得结果，因为
，所以一定有解。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL phi(LL n)
{
LL rea = n;
LL t = (LL)sqrt(1.0*n);
for(int i=2;i<=t;i++)
{
if(n % i == 0)
{
rea = rea - rea / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
LL power(LL a,LL b,LL m)
{
LL ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = ans * a % m;
b--;
}
b >>= 1;
a = a * a % m;
}
return ans;
}
LL Solve(LL a,LL m)
{
if(m == 1) return 0;
LL p = phi(m);
return power(a,p,m) * power(a,Solve(a,p),m) % m;
}
int main()
{
LL a,m;
bool f = 1;
while(cin>>a>>m)
{
if(f) f = 0;
else puts("");
LL ans = 1;
for(int i=1;i<=m;i++)
ans *= i;
cout<<Solve(a,ans)%ans<<endl;
}
return 0;
}
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4335
题意：给定3个整数
，其中
，
和
，求满足下面两个条件的
的个数。
分析：由
，所以这样就容易多了，注意有个特判。
代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
int phi(int n)
{
int rea = n;
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n % i == 0)
{
rea = rea - rea / i;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea / n;
return rea;
}
ULL quick_mod(ULL a,ULL b,ULL m)
{
ULL ans = 1;
a %= m;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = ans * a % m;
b--;
}
b >>= 1;
a = a * a % m;
}
return ans;
}
ULL f[100005];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for(int t=1; t<=T; t++)
{
ULL b, p, m;
scanf("%I64u %I64u %I64u", &b, &p, &m);
if(b == 0 && p == 1 && m == 18446744073709551615ull)
{
printf("Case #%d: 18446744073709551616\n",t);
continue;
}
int ph = phi(p);
ULL ans = 0;
if(b == 0) ans++;
f[0] = 1;
bool flag = 0;
int i;
for(i=1; i<=m; i++)
{
f[i] = f[i-1] * i;
if(f[i] >= ph)
{
f[i] %= ph;
flag = 1;
if(f[i] == 0) break;
}
if(flag)
{
if(quick_mod(i, f[i] + ph, p) == b)
ans++;
}
else
{
if(quick_mod(i, f[i], p) == b)
ans++;
}
}
for(int k=0; i<=m && k<p; i++, k++)
if(quick_mod(i, ph, p) == b)
ans += 1 + (m - i) / p;
printf("Case #%d: %I64u\n", t, ans);
}
return 0;
}