北大校赛A(grids 3741) Escape

北大校赛A(grids 3741) Escape

grids 3741 Escape
http://poj.grids.cn/problem?id=3741
此题我用组合数学过的. 欢迎交流各种方法.

原题意: 从(0,0)开始,初始面向y轴正方向,只能右转或直走,每个格子至多经过1次,到达(x,y),求有多少种走法

转化为: 从(x,y)开始,初始朝向任意,只能左转或直走,!@#%^$#$^^$@%,到达(0,0)的走法数
总的走法数即为初始朝向分别为上下左右的走法数之和.

观察符合要求的路径,其肯定是螺旋形的,也就是各边不相交.
所以可以分别设 (x,y)上方横线数up, 下方横线数down, 左侧竖线数left, 右侧竖线数right
按初始朝向分4种情况,可以找出up,down,left,right之间的数量关系! 可以自己画一下,很容易发现.

以初始朝向左为例,求 S左:
left-1 = up = right = down (令其 = k)
这样对某个k ,走法数即为在4个方位取出对应数量线段的方法数.
设(x,y)到地图4个边界的距离分别为 dl, du, dr, dd
则 Sk = C(left-1, dl-1) * C(up, du) * C(right, dr) * C(down, dd)
其中left项的上下标都减了1,是因为左侧竖线肯定有一条是y轴,所以只选出剩下的left-1条

枚举所有不会越界的 k ,即保证 C(k, n) 中 k<=n, 就求得这个方向方法数之和

最后把4个方向的S加起来即可

注意一些特殊情况:
1. (x,y)在 y 轴上时,直接输出1
2. 初始方向为下的情况,枚举k要从1开始,也就是至少要绕一圈. 因为 !%!@^$#$@#$ :)

ps.
初始朝向 上: left-1 = up-1 = right = down
初始朝向 右: left-1 = up-1 = right-1 = down
初始朝向 下: left = up = right = down

代码:

 1  #include  < cstdio >
 2  #include  < cstdlib >
 3  #include  < cstring >
 4  #include  < algorithm >
 5  using   namespace  std;
 6 
 7  const  __int64 MOD  =   100000007 ;
 8  __int64 x,y,X,Y,c[ 2100 ][ 2100 ];
 9  __int64 ans,tmp;
10  int  dk[ 4 ][ 4 ]  =  { // lurd
11       1 , 0 , 0 , 0 ,  // left
12       1 , 1 , 0 , 0 ,  // up
13       1 , 1 , 1 , 0 ,  // right
14       1 , 1 , 1 , 1    // down
15  };
16  int  N;
17 
18  __int64 func(__int64 n, __int64 k){
19       if (n < k)  return   0 ;
20       if (c[n][k] < 0 )
21          c[n][k]  =  (func(n - 1 , k - 1 )  +  func(n - 1 , k))  %  MOD;
22       return  c[n][k];
23  }
24 
25  inline  int  mi4( int  x1,  int  x2,  int  x3,  int  x4){
26       return  min(min(x1,x2),min(x3,x4));
27  }
28 
29  int  main(){
30       int  i,j,k,z;
31       int  left,right,up,down;
32      memset(c,  0xff ,  sizeof (c));
33      c[ 0 ][ 0 ]  =   1 ;
34       for (i = 1 ; i <= 2000 ; i ++ ){
35          c[i][ 0 ]  =   1 ;
36          c[i][ 1 ]  =  i;
37          c[i][i]  =   1 ;
38      }
39      scanf( " %d " , & N);
40       while (N -- ){
41          scanf( " %I64d %I64d %I64d %I64d " , & X,  & Y,  & x,  & y);
42          left  =  x; right  =  X - x;
43          up  =  Y - y; down  =  y;
44           if (x  ==   0 ){
45              printf( " 1\n " );
46               continue ;
47          }
48          ans  =   0 ;
49           for (i = 0 ; i < 4 ; i ++ ){
50              z  =  mi4(left - dk[i][ 0 ], up - dk[i][ 1 ], right - dk[i][ 2 ], down - dk[i][ 3 ]);
51               for (k = 0 ; k <= z; k ++ ){
52                  tmp  =  func(left - 1 , k + dk[i][ 0 ] - 1 )  %  MOD;
53                  tmp  =  (tmp  *  func(up, k + dk[i][ 1 ]))  %  MOD;
54                  tmp  =  (tmp  *  func(right, k + dk[i][ 2 ]))  %  MOD;
55                  tmp  =  (tmp  *  func(down, k + dk[i][ 3 ]))  %  MOD;
56                  ans  =  (ans  +  tmp)  %  MOD;
57              }
58          }
59          printf( " %I64d\n " ,ans);
60      }
61       return   0 ;
62  }
63