矩阵的妙用一例
宿舍3哥们，小A，小B，小C都喜欢下片，在那个年代，网络上大部分片都是打包的。下完了就要解压，一般解压完了之后压缩包就删除掉了，免得占空间。为了让问题简单点，我们假设解压都是全部解压出来的，而且解压出来的文件不会删除。
问题：现在有一些统计数据，请你推测哪些片应该是同一个压缩包的。
在3人电脑上统计的Film（简写为F）数据如下（0代表该电脑没有这部片，1代表该电脑有这部片）：
| \ | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 |
| A | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| B | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| C | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
同样的道理，我们推测F3，F4应该是一个压缩包里的文件，因为F3和F4同时出现在A,C的机器上且只出现在AC的机器上。
最后剩下F2，F2出现在A和B的机器上，但是A,B的机器上同时出现的文件除了F2没有其他文件了。所以F2可能是一个孤立的文件。
以上这个判断过程，如果借助矩阵，我们将更容易地判断出来。过程如下：
我们首先把上面的0,1数值放到一个矩阵中，如下：
则A的转置矩阵为：
将A的转置矩阵乘以A得到结果为：
容易看出A的转置矩阵乘以A得到的是一个对称矩阵。
接下来我们求两个文件的相关性，我们这样定义两个文件的相关性 P = （ S1、S2求交集 ）/ （ S1、S2求并集）= （S1∩S2）/ (S1∪S2) = （S1∩S2）/ (S1+S2-S1∩S2)
其中文件1出现在谁的电脑上的集合记为S1，文件2出现在谁的电脑上的集合记为S2
上面式子中的S1、S2和S1∩S2其实我们都可以在 A的转置矩阵乘以A得到的对称矩阵(为了方便我们记做矩阵K)中找到。
以求文件1和文件2的相关性为例：
S1 = 矩阵K的第1行第1列 = 2（表示文件1在两个人的电脑上存在，矩阵乘法中正好1*1=1）
S2 = 矩阵K的第2行第2列 = 2
S1∩S2 = 矩阵K的第1行第2列 = = 矩阵K的第2行第1列 （所以矩阵K必须是对称矩阵）= 1 （表示文件1和2都有的电脑只有一台）
所以文件1和2的相关性P = 1/(2+2-1) = 1/3
因为有5个文件，所以共有C(5，2) = 10种组合。
这10种组合中，利用上面求相关性的公式：P = （ S1、S2求交集 ）/ （ S1、S2求并集）= （S1∩S2）/ (S1∪S2) = （S1∩S2）/ (S1+S2-S1∩S2)
最后得到P(F1，F5) = (2) / (2+2-2) = 1
P(F3，F4) = (2) / (2+2-2) = 1
其他组合的相关性都达不到1。这与上面目测的结论一致。
（全文完）