程序员面试题精选100题(63)-数组中三个只出现一次的数字[算法]
http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174201283084246412/
题目：一个数组中有三个数字a、b、c只出现一次，其他数字都出现了两次。请找出三个只出现一次的数字。
分析：在博客http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/中我们讨论了如何在一个数组中找出两个只出现一次的数字。在这道题中，如果我们能够找出一个只出现一次的数字，剩下两个只出现一次的数字就很容易找出来了。
如果我们把数组中所有数字都异或起来，那最终的结果（记为x）就是a、b、c三个数字的异或结果（x=a^b^c）。其他出现了两次的数字在异或运算中相互抵消了。
我们可以证明异或的结果x不可能是a、b、c三个互不相同的数字中的任何一个。我们用反证法证明。假设x等于a、b、c中的某一个。比如x等于a，也就是a=a^b^c。因此b^c等于0，即b等于c。这与a、b、c是三个互不相同的三个数相矛盾。
由于x与a、b、c都各不相同，因此x^a、x^b、x^c都不等于0。
我们定义一个函数f(n)，它的结果是保留数字n的二进制表示中的最后一位1，而把其他所有位都变成0。比如十进制6表示成二进制是0110，因此f(6)的结果为2（二进制为0010）。f(x^a)、f(x^b)、f(x^c)的结果均不等于0。
接着我们考虑f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果。由于对于非0的n，f(n)的结果的二进制表示中只有一个数位是1，因此f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果肯定不为0。这是因为对于任意三个非零的数i、j、k，f(i)^f(j)的结果要么为0，要么结果的二进制结果中有两个1。不管是那种情况，f(i)^f(j)都不可能等于f(k)，因为f(k)不等于0，并且结果的二进制中只有一位是1。
于是f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)的结果的二进制中至少有一位是1。假设最后一位是1的位是第m位。那么x^a、x^b、x^c的结果中，有一个或者三个数字的第m位是1。
接下来我们证明x^a、x^b、x^c的三个结果第m位不可能都是1。还是用反证法证明。如果x^a、x^b、x^c的第m位都是1，那么a、b、c三个数字的第m位和x的第m位都相反，因此a、b、c三个数字的第m位相同。如果a、b、c三个数字的第m位都是0，x=a^b^c结果的第m位是0。由于x和a两个数字的第m位都是0，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这与我们的假设矛盾。如果a、b、c三个数字的第m位都是1，x=a^b^c结果的第m位是1。由于x和a两个数字的第m位都是1，x^a结果的第m位应该是0。同理可以证明x^b、x^c第m位都是0。这还是与我们的假设矛盾。
因此x^a、x^b、x^c三个数字中，只有一个数字的第m位是1。于是我们找到了能够区分a、b、c三个数字的标准。这三个数字中，只有一个数字满足这个标准，而另外两个数字不满足。一旦这个满足标准数字找出来之后，另外两个数字也就可以找出来了。
这种思路的C++代码如下：
void getThreeUnique(vector<int>& numbers, vector<int>& unique)
{
if(numbers.size() < 3)
return;
int xorResult = 0;
vector<int>::iterator iter = numbers.begin();
for(; iter != numbers.end(); ++iter)
xorResult ^= *iter;
int flags = 0;
for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)
flags ^= lastBitOf1(xorResult ^ *iter);
flags = lastBitOf1(flags);
// get the first unique number
int first = 0;
for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)
{
if(lastBitOf1(*iter ^ xorResult) == flags)
first ^= *iter;
}
unique.push_back(first);
// move the first unique number to the end of array
for(iter = numbers.begin(); iter != numbers.end(); ++iter)
{
if(*iter == first)
{
swap(*iter, *(numbers.end() - 1));
break;
}
}
// get the second and third unique numbers
getTwoUnique(numbers.begin(), numbers.end() - 1, unique);
}
int lastBitOf1(int number)
{
return number & ~(number - 1);
}
void getTwoUnique(vector<int>::iterator begin, vector<int>::iterator end, vector<int>& unique)
{
int xorResult = 0;
for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)
xorResult ^= *iter;
int diff = lastBitOf1(xorResult);
int first = 0;
int second = 0;
for(vector<int>::iterator iter = begin; iter != end; ++iter)
{
if(diff & *iter)
first ^= *iter;
else
second ^= *iter;
}
unique.push_back(first);
unique.push_back(second);
}
上文中getThreeUnique从数组中找出三个只出现一次的数字，而getTwoUnique从数组中找出两个只出现一次的数字。lastBitOf1实现分析中的函数f(n)的功能，它只保留数字n的二进制表示中的最后一位1，而把其他所有位都变成0。
在函数getThreeUnique中，我们通过第一个for循环把a、b、c三个数字异或的结果保存到xorResult中，接着在第二个for循环中求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)并保存到变量flags中。在语句flags=lastBitOf1(flags)求出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)结果的二进制中最后一位是1的位。并根据这一数位求出第一个只出现一次的数字first。接着把first交换到数组的最后，并在数组的前n-1个数字中求出另外两个只出现一次的数字。
博主何海涛对本博客文章享有著作权。网络转载请注明出处http://zhedahht.blog.163.com/。整理出版物请和作者联系。
/*
1.我们将数组中所有的数字都异或起来，最终结果记为x=a^b^c;
2.x与abc各不相同
3.设f(n)保留的是二进制中表示中的最后一位1，其他的全变为0 例如f(6)=0010
f(x^a) f(x^b) f(x^c)的结果均不为0
4.f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)!=0
5.f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)=y. 设y的最后一位是1的位为第m位。 abc中只有一个数的一位是1
*/
int lastBitOf1(int number)
{
return number&~(number-1);
}
void getTwoUnique(vector<int>::iterator begin,vector<int>::iterator end,vector<int>& unique)
{
int xorResult=0;
for(vector<int>::iterator iter=begin;iter!=end;++iter)
xorResult^=*iter;
int diff=lastBitOf1(xorResult);
int first=0;
int second=0;
for(vector<int>::iterator iter=begin;iter!=end;++iter)
{
if(diff&*iter)
first^=*iter;
else
second^=*iter;
}
unique.push_back(first);
unique.push_back(second);
}
void getThreeUnique(std::vector<int>& numbers,std::vector<int>& unique)
{
if(numbers.size()<3)
return;
int xorResult=0;
vector<int>::iterator iter=numbers.begin();
for(;iter!=numbers.end();iter++)
{
xorResult^=*iter;
}//我们将数组中所有的数字都异或起来 xorResult
int flags=0;
for(iter=numbers.begin();iter!=numbers.end();iter++)
{
flags^=lastBitOf1(xorResult^*iter);
}//y一定不等于0
flags=lastBitOf1(flags);//找出来他的最后一位为0
//然后根据这个flags来求出第一个只出现一次的数字first
int first=0;
for(iter=numbers.begin();iter!=numbers.end();iter++)
{
if(lastBitOf1(*iter^xorResult)==flags)
{
first^=*iter;
}
}
unique.push_back(first);
for(iter=numbers.begin();iter!=numbers.end();++iter)
{
if(*iter==first)
{
swap(*iter,*(numbers.end()-1));
break;
}
}
//cout<<unique.at(0)<<endl;
getTwoUnique(numbers.begin(),numbers.end()-1,unique);
}
int main()
{
std::vector<int> col;
std::vector<int> unique;
col.push_back(1);
col.push_back(1);
col.push_back(2);
col.push_back(2);
col.push_back(3);
col.push_back(4);
col.push_back(5);
col.push_back(6);
col.push_back(6);
getThreeUnique(col,unique);
std::vector<int>::iterator iter=unique.begin();
for(;iter!=unique.end();iter++)
cout<<*iter<<" ";
cout<<endl;
return 0;
}