首先必须知道König定理:
最大匹配值 = 最小顶点覆盖。
该定理的证明(转自):http://www.matrix67.com/blog/archives/116
二分图最大匹配的König定理及其证明
本文将是这一系列里最短的一篇,因为我只打算把König定理证了,其它的废话一概没有。
以下五个问题我可能会在以后的文章里说,如果你现在很想知道的话,网上去找找答案:
1. 什么是二分图;
2. 什么是二分图的匹配;
3. 什么是匈牙利算法;(http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=41)
4. König定理证到了有什么用;
5. 为什么o上面有两个点。
König定理是一个二分图中很重要的定理,它的意思是,一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖,我也在这里说一下:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。比如,下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。它们都等于3。这个定理相信大多数人都知道,但是网络上给出的证明并不多见。有一些网上常见的“证明”明显是错误的。因此,我在这里写一下这个定理的证明,希望对大家有所帮助。
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配(假设它等于M),下面给出的方法可以告诉我们,选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点,走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现”的路(交错轨,增广路)。但是,现在我们已经找到了最大匹配,已经不存在这样的路了。换句话说,我们能寻找到很多可能的增广路,但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号:从右边的所有没有匹配过的点出发,按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点(最后走出的路径是很多条不完整的增广路)。那么这些点组成了最小覆盖点集:右边所有没有打上记号的点,加上左边已经有记号的点。看图,右图中展示了两条这样的路径,标记了一共6个点(用 “√”表示)。那么,用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
首先,为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢?答案很简单,因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的,那么它早就当成起点被标记了;如果左边的哪个点是没有匹配过的,那就走不到它那里去(否则就找到了一条完整的增广路)。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的,同时右端点是没标记的(不然的话右边的点就可以经过这条边到达了)。因此,最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
其次,为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢?答案同样简单。不可能存在某一条边,它的左端点是没有标记的,而右端点是有标记的。原因如下:如果这条边不属于我们的匹配边,那么左端点就可以通过这条边到达(从而得到标记);如果这条边属于我们的匹配边,那么右端点不可能是一条路径的起点,于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的(想想匹配的定义),左端点就应该有标记。
最后,为什么这是最小的点覆盖集呢?这当然是最小的,不可能有比M还小的点覆盖集了,因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点(再次回到匹配的定义)。
证完了。
题意: 有两种机器A、B ,k个工作,每个工作可在A上的ai模式运行,也可以在B上的bi上运行,但是每次转换模式需要重新开机,要求安排最合适的工作顺序来求出最小的开机次数。
思路: 将每个工作看做连接A、B两个集合的边,求最少的点(A、B的模式数)可以满足所有的工作(覆盖所有边),即求最小顶点覆盖(最大匹配数)。
代码:(用邻接表实现)
#include<iostream> #include<string.h> using namespace std; const int NV=1500; const int EV=10001; int head[NV],pp[NV],vis[NV]; int N,size; typedef struct { int v,next; }Edge; Edge E[EV]; void init(int VX) { N=VX; size = 0; for(int i=0;i<=N;i++) head[i]=-1; //head[]若为-1则该顶点没有与之相连的顶点了 } void insert(int a , int b) { E[size].v = b; E[size].next = head[a]; head[a] = size++;//head[]存该顶点最后一条边的序号 } int find_path(int u) {//cout<<"u= "<<u<<endl; for(int i=head[u];i!=-1 ; i=E[i].next) {//cout<<"i= "<<E[i].v<<endl; int v=E[i].v;//cout<<"***** "<<vis[v]<<endl; if(vis[v]) continue; vis[v]=1; if(pp[v]==-1 || find_path(pp[v])) {//cout<<"u -- v : "<<u<<" "<<v<<endl; pp[u]=v; pp[v]=u; return 1; } } return 0; } int find_Ans(int n) { int match=0; memset(pp,-1,sizeof(pp)); //pp[u]=v表示A机器u模式可以和B机器v模式匹配 for(int i=1;i<=n;i++) {//cout<<"*** "<<i<<endl; if(pp[i]==-1) //若i顶点还未匹配 { memset(vis,0,sizeof(vis)); match+=find_path(i); //cout<<"match= "<<match<<endl; } } return match; } int main() { int n,m,k; int c,a , b; while(scanf("%d",&n)!=EOF && n) { scanf("%d%d",&m,&k); init(n+m); for(int i=1;i<=k;i++) { scanf("%d%d%d",&c,&a,&b); if(a==0 || b==0) continue; insert(a,b+n); insert(b+n,a); //将顶点a、b的边加入E[]中 } memset(pp,-1,sizeof(pp)); printf("%d\n",find_Ans(n)); } return 0; }