HDU 4569 Special equations 解题报告

题目

比赛

题意:

有一个等式f(x) = a nn +...+ a 1x +a 0,已知所有的系数。有一个素数p,求任意使得f(x)%(p*p)=0的x。

题解1:

这个方法我没想到,是别人告诉我的:若f(x)%(p*p)=0,则f(x)%p=0。所以先求出所有模p为0的x,那么这些解每隔一个·p都可能满足f(x)%(p*p)=0。


无代码

题解2:

这题有公式,高次同余式求解。

若已知f(xi)%(p^i)=0,那么令:

mi=f(xi)/(p^i) (mod p) (注意这里p^i在模p下没有逆元,所以f(xi)不能取模)

ni=f`(xi) (mod p) (f`(x)是导数)

ti=-mi×(ni^-1) (mod p) 

则xi+1=xi+(p^i)×ti  (mod p^(i+1))

这个式子可以求任意p^i的同余式解,但是若ni=0则无解。


在这题里,由于f(xi)不能取模,所以给的系数也不能取模。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int num[10];
long long toz(long long n,long long p)
{
    long long tmp=(p-(-n)%p)%p;
    if(n>0) return n%p;
    else    return (p-(-n)%p)%p;
}
long long pow_mod(long long a,long long n,long long mod)
{
    long long ans=1;
    a=toz(a,mod);
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("/home/moor/Code/input.txt","r",stdin);
    int t,n,p,x;
    scanf("%d",&t);
    for(int h=1;h<=t;++h)
    {
        long long sum1,sum2,tx;
        scanf("%d",&n);
        for(int j=0;j<n+1;++j)  scanf("%d",&num[j]);
        scanf("%d",&p);
        x=-1;
        for(int j=0;j<p;++j)
        {
            long long tx=1;
            sum1=0;
            for(int k=n;k>=0;--k,tx*=j)  sum1=sum1+tx*num[k];
            if(toz(sum1,p)==0)
            {
                x=j;
                break;
            }
        }
        printf("Case #%d: ",h);
        if(x==-1)
        {
            printf("No solution!\n");
            continue;
        }
        sum1=0;
        tx=1;
        for(int k=n;k>=0;--k,tx*=x)
            sum1=sum1+tx*num[k];
        sum2=0;
        tx=1;
        for(int k=n-1;k>=0;--k,tx*=x)
            sum2=sum2+tx*num[k]*(n-k);
        if(toz(sum2,p)==0)
        {
            printf("No solution!\n");
            continue;
        }
        sum1=p-(toz(sum1/p,p)*pow_mod(sum2,p-2,p)%p);
        x=(x+p*sum1)%(p*p);
        cout<<x<<'\n';
    }
    return 0;
}


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