编程之美4.3扩展问题(卡特兰数)

2013.7.14修正

这里有个帖子对卡特兰数描述得比较详尽

http://blog.csdn.net/jtlyuan/article/details/7440591

编程之美4.3的题目讲的是买票找零问题，属于Catalan数的范畴，详细细节不表，书中自有。其中书后的扩展问题1、2、3都是卡特兰数的经典应用[1]。

卡特兰数原理：

h(0)=1;h(1)=1;当n>=2时，满足以下递归公式

h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+h(2)*h(n-3)+...+h(n-1)*h(0)

省略递推过程，最后的结果是

h(n) = c(2n,n)-c(2n,n-1)= c(2n,n)/(n+1);

1、给定n个结点可构造多少个不同的二叉树

这个比较明显了，设f(n)为n个结点可构造的不同二叉树。那选择第k个结点为根节点，则此种情况下f(n)=f(k-1)*f(n-k).所以所有情况下，f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0)

明显f(n) = h(n) = c(2n,n)/n+1

2、一个无穷大的栈，进栈次序为1,2,3,4,5...，它的出栈次序有多少种？

选择第一次出栈的数为k，然后方法同上了

3、凸多边形三角划分：求一个凸多边形区域划分为三角形区域的方法

稍微有些不一样，参看[1]

类似的问题

(1)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？(同买票找零)

4、矩阵连乘问题：P=a1xa2xa3x...an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

/*个人理解(似乎有点问题)：设f(n)是n个矩阵相乘总括号方案数。每一种方案那我们取一种方案，取到第k个矩阵，从其左右分开相乘
这种方案的括号数是f(k-1)*f(n-k)。k可以从1取到n
因此f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+...+f(n-1)*f(0)
同上了*/

References

[1] 卡特兰数百度百科http://baike.baidu.com/view/2499752.htm?fromId=1163998