拉格朗日插值法
一、 问题的背景
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。 或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法:
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值
yi =f(xi ), (i=0,1,…,n)
求一个简单函数y=P(x),使其满足:
P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),
同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:
R(x) = f(x) - P(x)
其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
三、插值方法面临的几个问题
第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。本章我们选择代数 多项式类，其原因有两个：(1) 代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2) 根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。
第二个问题:构造插值函数P(x),使其满足:P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解, 是否唯一？(唯一性的问题）
第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。
第一节 拉格朗日插值公式
一．线性插值(一次插值）
已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。
1. 插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:
记
并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：
从而
P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x)
此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无 关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1 .
例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。
解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设
x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010
则插值基函数为：
于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:
故 :
即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).
二．二次插值多项式
已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足,
P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 .
其几何意义为:已知平面上的三个点
(xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),
求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。
1.插值基本多项式
有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：
(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：
因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其 已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设
lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ),
又因为
lk-1 (xk-1 )=1 ==> a(xk-1 -xk )(xk-1 -xk+1 )=1
得
从而  同理得  |
基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。
2. 拉格朗日型二次插值多项式
由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:
P2 (x)=yk-1 lk-1 (x)+yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x),P2 (x)
是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:
P2 (xi )=yi , (i=k-1,k,k+1) 。
例2 已知：
xi 10 15 20
yi=lgxi 1 1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求 lg12的近似值。
解：设 x0 =10,x1 =15,x2 =20,则:
故:
所以
7利用三个点进行抛物插值得到 lg12的值,与精确值 lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。
三、拉格朗日型 n次插值多项式
已知函数 y=f(x)在 n+1个不同的点 x0 ,x1 ,…,x2 上的函数值分别为
y0 ,y1 ,…,yn ,求一个次数不超过n的多项式 Pn (x),使其满足:
Pn (xi )=yi , (i=0,1,…,n),
即 n+1个不同的点可以唯一决定一个 n次多项式。
1. 插值基函数
过 n+1个不同的点分别决定 n+1个 n次插值基函数
l0 (x),l1 (x),…,ln (X)
每个插值基本多项式l i (x)满足：
(1) li (x)是 n次多项式;
(2) li (xi )=1,而在其它 n个 li (xk )=0 ,(k≠i)。
由于 li (xk )=0 ,(k≠i), 故有因子:
(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
因其已经是 n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
li (x)=a(x-x0 )…(x-xi-1 )(x-xi+1 )…(x-xn )
由 li (xi )=1,可以定出 a, 进而得到：
2. n次拉格朗日型插值多项式 Pn (x)
Pn (x)是 n+1个 n次插值基本多项式 l0 (x),l1 (x),…,ln (X)的线性组合,相应的组合系数是 y0 ,y1 ,…,yn 。即:
Pn (x)=y0 l0 (x)+y1 l1 (x)+…+yn ln (x) ,
从而 Pn (x)是一个次数不超过 n的多项式,且满足
Pn (xi )=yi , (i=0,1,2,…,n).
例3 求过点 (2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。
解 用4次插值多项式对5个点插值。
所以
 |
四、拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在 [a,b]上用多项式 Pn (x) 来近似代替函数 f(x), 其截断误差记作
Rn (x)=f(x)-Pn (x)
当 x在插值结点 xi 上时 Rn (xi )=f(xi )-P n(xi )=0,下面来估计截断误差：
定理1：设函数 y=f(x)的n阶导数 y(n) =f(n) (x)在 [a,b]上连续，
y(n+1) = f(n+1) (x)
在 (a,b)上存在；插值结点为:
a≤x0 <x1 <…<xn ≤b,
Pn (x)是 n次拉格朗日插值多项式；则对任意 x∈[a,b]有：
其中 ξ∈(a,b), ξ依赖于 x：ωn+1 (x)=(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )
证明：由插值多项式的要求：
Rn(xi )=f(xi )-Pn (xi )=0，(i=0,1,2,…,n);
设
Rn (x)=K(x)(x-x0 )(x-x1 )…(x-xn )=K(x)ωn+1 (x)
其中 K(x)是待定系数；固定 x∈[a,b]且 x≠xk ，k=0,1,2,…,n;作函数
H(t)=f(t)-Pn (t)-K(x)(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )
则 H(xk )=0，(k=0,1,2,…,n), 且 H(x)=f(x)-Pn (x)-Rn(x)=0, 所以，
H(t)在 [a,b]上有 n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在 ξ∈(a,b),
使 ; 因 Pn (x)是 n次多项式，故 P(n+1) (ξ)=0, 而
ωn+1 (t)=(t-x0 )(t-x1 )…(t-xn )
是首项系数为1的n+1次多项式，故有
于是
H(n+1) (ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)
得：
所以
设
, 则：
易知，线性插值的截断误差为:
二次插值的截断误差为:
下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算 lg12的截断误差：
在例1中，用 lg10和 lg20计算 lg12,
P1(12)=1.0602,lg12=1.0792
e=|1.0792-1.0602|=0.0190;
估计误差：f(x)=lgx,
,当
x∈[10,20]时,
在例2中，用 lg10,lg15和 lg20计算 lg12.
P2(12)=1.0766,
e = |1.0792-1.0766|=0.0026
估计误差：
