浅谈频率归一化问题

浅谈频率归一化问题

一、问题来源

在用matlab处理声音信号时，读入的声音存入一个矩阵中。这些离散的数据可以很好的用信号与系统的工具处理。但是，在涉及到实际的问题时，总会有类似这样的要求：设计一个4kHz的低通滤波器。问题由此产生。

在信号与系统课程中，离散的信号都是在t为整数的情形下的一些取值。在这种情况下，读入的信号经过fft变换后，变成了：

exp(j*k/N*2*pi*n)

这样的形式。由：

exp(j*w*n)

的频率是

abs(w)/(2*pi)

可以得到以上的傅里叶变换的频率是从0到(N-1)/N，再由：

exp(j*n) =exp(j*(n+2*pi)

可以得到最高的频率出现在w=pi处。

问题是，即使最高的频率也仅仅是1/2罢了，如何与要求的4kHz对应呢？

二、归一化

问题的来源就是采样了。我们假设信号发生在t为整数的时刻，然而事实并非如此。设采样频率为fs，则每秒内会有fs个信号发生。那么，真正的各个频率成份应该是计算出来的频率乘以fs（因为实际比假设快了fs倍）。于是，实际的频率成份是从0到fs/2了（这一点符合采样定理）。

那么，对于给定的频率fc，如何计算对应的公式exp(j*k/N*2*pi*n)中的k呢？由以上的推理可知：

k = fc / (fs/ 2)  * l / 2= fc / fs * l

上式就是归一化了（fs / 2代表最高频率成份）。

三、归一化的应用

由于现在正处于课程设计阶段，在此公布matlab代码有代人写作业的嫌疑，因此这部分以后补齐。