生成函数（母函数）
看了一个下午的生成函数（又称母函数），初次理解，于是便总结一下。
生成函数是说，构造一个多项式函数 g(x) ，是的 x 的n 次方 的系数是 f(n) .
即： ~g(x) = 1 + f(1) * x^1 + f(2) * x^2 + f(3) * x^3 + .......+f(k) * x^k + ........
这里的 g(x) 就是一个生成函数。
那么 f(n) 的含义呢？
这个函数的话，就是由你自己构造了。
如何构造呢？下面由一个例题，来引出：
用1，2，3来组成不同的值。而我们要求的就是给定一个n，有多少种组成的方法。
这里我们用到生成函数来解这题。
要用到生成函数就一定先要知道 f(n) 这个函数。
我们先来看这个问题，一个数 n 能用 1 组成的方法有多少种呢？ 答案很明显，1种。
也就是说如果我们上面说的那个问题变成： 用 1 来组成不同的值，我们要求给定一个n ,有多少种组成的方法。
这样，这个问题是不是变得很简单了，只要不是脑残，应该都能一眼看出答案，1种，不管n 是多少，都是一种。
那么我们的 f(n) 也就出来了。
即： f(1)=1
f(2)=1
f(3)=1
f(4)=1
f(5)=1
......
f(n)=1
很容易就可以看出这个f()函数的意义，即n代表一个值，而f(n)的值表示用 1 组成 n的方法的个数。
既然f(n) 出来了，那么它的构造函数当然也出来了。
即：~g(x)=1+x^1+x^2+x^3+.........+x^k+.....x^n+.......
到这里，不着急，我们继续看，
刚才我们是用 1 来组成一个给定的任意值 n ，求组成的方法数。
现在我们继续转化，我们用 2 来组成一个给定的任意值 n， 求组成的方法数。
因为用2来组成的数一定都是偶数，而且组成的方法数也一定都是一种，所以
我们根据 f() 函数的定义，可以知道 f(n) 的值：
f(1)=0
f(2)=1
f(3)=0
f(4)=1
f(5)=0
......
这个的含义也和前一个问题的 f() 函数一样，那么我们的构造函数也能出来了。
即：~g(x)=1 + x^2 +x^4 +x^6+.......
同理我们也就可以推出，当用 3 来组成 n 时的 f()函数，以及生成函数。
那么接下来我们推广一下，我们将原来的 1 啊，2 啊， 3啊，等一个个的数，都看成是一个个的集合，即｛1｝，｛2｝，｛3｝
而我们的问题就是要用集合的里的数，来组成一个数值 n，求组成的方法数。
原先集合里都只有1个元素，所以我们能很快得出 f (n) 答案，但是当有多个元素时，这个问题，就变成了，我们最开始要求的那个问题了。
如何用1，2，3来组成一个数值 n，求组成的方法数。
这里的集合就是｛1，2，3｝
而结果如何求呢？
因为我们已经计算出了，单个元素的 f() 函数，所以我们求此时的集合所对应的 f() 函数时，就要用到构造函数。
我们将每个元素的构造函数都乘起来，得到的这个函数，就是我们现在的集合所对应的生成函数了。
即：g(x)=(1+x^1+x^2+.....) (1 + x^2 +x^4 +......) (1 + x^3 +x^6+ .......)
我们展开函数，使之成为
g(x) = 1 + f(1) * x^1 + f(2) * x^2 + f(3) * x^3 + .......+f(k) * x^k + ........
然后我们要求的结果也就出来了。就是 f(n) 。即：用｛1，2，3｝组成 n 的方法数有 f(n) 种。
先暂时说到这里吧，下面贴一下，这个简单代码（引用的哦）：
#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1[_max], c2[_max];
int main()
{ //int n,i,j,k;
int nNum; //
int i, j, k;
while(cin >> nNum)
{
for(i=0; i<=nNum; ++i) // ---- ①
{
c1[i] = 1;
c2[i] = 0;
}
for(i=2; i<=nNum; ++i) // ----- ②
{
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ----- ③
for(k=0; k+j<=nNum; k+=i) // ---- ④
{
c2[j+k] += c1[j];
}
for(j=0; j<=nNum; ++j) // ---- ⑤
{
c1[j] = c2[j];
c2[j] = 0;
}
}
cout << c1[nNum] << endl;
}
return 0;
}
我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。
来源：http://www.wutianqi.com/?p=596 （母函数详解）
以后再接触，再继续更改。