数论读书笔记——读书引言

同余引言

基本概念

定义：设m是正整数,若a和b是整数,且m|（a-b）,则称a和b模m同余

若a和b模m同余,则记a≡b(mod m)反之则记a≠b(mod m)并称a模m不同余于b。整数m称为同余的模

定理1：若a和b是整数,则a≡b(mod m)当且仅当存在整数k,使得a=b+km。

定理2：设m是正整数,模m的同余满足下面的性质：

①        自反性：若a是整数,则a≡a(mod m)

②        对称性：若a和b是整数,且a≡b(mod m),则b≡a(mod m)

③        传递性：若a,b和c是整数,且a≡b(mod m)和b≡c(mod m)则a≡c(mod m)

由上述可见：整数的集合被分成m个不同的集合,这些集合称为模m剩余类(同余类),每个同余类中的任意两个整数都是模m同余的

设m是正整数,给定整数a,由带余除法有a=bm+r,其中0≤r≤m-1.称r为a的模m最小负剩余,是a模m的结果,类似地,当m不整除a时,称r为a的模m最小正剩余

注意：由方程a=bm+r有a≡r(mod m)因此,每个整数都和0,1,...,m-1(也就是a被m除所得的剩余)中的一个模同余,因为0,1,...,m-1中的任何两个都不是模m同余的,所以我们有m个整数使得每个整数都恰同这m个整数中的一个同余（听起来绕口吗？其实你想下这句话说的概念其实很简单。。）

定义：一个模m完全剩余系是一个整数的集合,使得每个整数恰和此集合中的一个元素模m同余

定理3：若a,b,c和m是整数,m＞0, a≡b(mod m)则

①        a+c≡b+c(mod m)

②        a-c≡b-c(mod m)

③        ac≡bc(mod m)

定理4：若a,b,c和m是整数,m＞0,(c,m)=d,且有ac≡bc(mod m),则a≡b(mod m/d)

推论：若a,b,c和m是整数,m＞0,(c,m)=1,且有ac≡bc(mod m),则a≡b(mod m)

定理5：若a,b,c,d和m是整数,m＞0,a≡b(mod m),且c≡d(mod m),则

①        a+c≡b+d(mod m)

②        a-c≡b-d(mod m)

③        ac≡bd(mod m)

引理：m个模m不同余的整数的集合构成一个模m的完全剩余系

定理6：若r1,r2,...,rm是一个模m的完全剩余系,且正整数a使得(a,m)=1则对任何整数b,

ar1+b,ar2+b,...,arm+b

都是模m的完全剩余系

定理7：若a,b,k和m是整数,k＞0,m＞0,且a≡b(mod m),则a^k≡b^k(mod m)

定理8：若a≡b(mod m1),a≡b(mod m2),...,a≡b(mod mk),其中a,b,m1,m2,...,mk是整数,且m1,m2,...,mk是正的,则

a≡b(mod lcm[m1,m2,...,mk])

推论：若a≡b(mod m1),a≡b(mod m2),...,a≡b(mod mk)，其中a,b是整数，m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，则

a≡b(mod m1*m2*,...,*mk)

模指数运算

我们将处理含有整数的高次幂的同余，例如，我们要找2^644的模645最小正剩余。若找此最小正剩余时我们先计算2^644，则得到一个194位的十进制数，这是最不想要的。相反，为求出2^644模645，我们先将指数644表示成2进制形式

              (644)十进制=(1010000100)二进制

然后，用逐个平方及模645约化来计算2,2^2,2^4,2^8,...,2^512的最小正剩余

现在用2的合适的方幂的最小正剩余的乘积来计算2^644模645有

2^644=2^(512+128+4)=2^512*2^128*2^4=256*391*16=1601536≡1(mod 645)

刚才演示了模指数运算，即计算b^N模m的一般过程,其中b，m和N是正整数。首先，将N用二进制表示成N=(akak-1...a1a0)二进制，然后，用逐个平方及模m约化求出b，b^2,b^4,...,b^2^k模m的最小正剩余。最后aj=1的j所对应的b^2^j模m的最小正剩余的乘积，在模m约化即可。

定理9：设b,m和N是正整数，且b＜m，则计算b^N模m的最小正剩余要用O((log2（m））^2*log2(N))次位运算