数论读书笔记——线性同余方程

线性同余方程

设x是未知整数，形如ax≡b(mod m)的同余式称为一元线性同余方程

首先注意到，若x=x0是同余方程ax≡b(mod m)的一个解，且x1≡x0(mod m)，则ax1≡ax0≡b(mod m),所以x1也是一个解。因此，若一个模m同余类的某个元素是解，则此同余类的所有元素都是解。于是，我们会问模m的m个同余类中有多少个给出方程的解：这相当于问方程有多少个模m不同余的解。

定理：设a,b和m是整数,m＞0,(a,m)=d,若d不整除b，则ax≡b(mod m)无解，若d整除b，则ax≡b(mod m)恰有d个模m不同余的解

推论：若a和m＞0互素，且b是整数，则线性同余方程ax≡b(mod m)有模m的唯一解

模的逆：我们考虑特殊形式的同余方程ax≡1(mod m)，所以此方程有解当且仅当(a,m)=1,于是其所有的解都模m同余

定义：给定整数a,有(a,m)=1,称ax≡1(mod m)的一个解为a模m的逆

定理：设p是素数，正整数a是其自身模p的逆，当且仅当a≡1(mod p)或a≡-1(mod p)