卡特兰数(Catalan)
一、介绍
卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。
历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”。
卡特兰序列的前11项为：1, 1, 2, 5,14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。
二、性质
2.1 通项公式
Cn的另一个表达形式为 ：
所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。
2.2 递推关系
a.
b.
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。卡塔兰数的渐近增长为：
它的含义是当n → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）
c. 所有的奇卡塔兰数Cn都满足
。所有其他的卡塔兰数都是偶数。
d. 当n > 4 是，Cn 不是素数。{Cn | (2n)! 推出 Cn若是素数则Cn < 2n 推出 n <4 }。
三、等价问题
（1）给定n个元素，依次通过一个栈，求可能的出栈序列的个数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n)。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为C(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目为C(2n,n) - C(2n,n+1) = 1/(n+1)*C(2n,n)。
（2）n个左括号和那个右括号组成的合法匹配的字符串的个数。
解：这个题目只要将上面证明过程中的1对应左括号，0对应右括号即可。
（3）n+1个数字连乘，不同的计算顺序个数。
解：这个就相当于加入了n对合法的括号。
（4）Cn表示长度2n的dyck word的个数。
（Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。）
解：（1）中X对应1，Y对应0，即可。
（5）n个节点的二叉树的可能形态的种类数。
解：（2）中的每个不同的括号串，一一映射于二叉树的每一种情况。
这里利用另一个通项公式推导一下：
设n个节点的二叉树有F（n）个，则分为根的左子树0各节点、右子树n-1个节点，跟的左子树1个节点、右子树n-2个节点，...：
F（n）= F（0）*F（n-1）+ F（1）*F（n-2）+ ... + F（n-1）*F（0）= Cn。
（6）n个非叶节点的满二叉树的形态数。（对称后得到的二叉树除非自己本身对称，否则算是不同）
设n个节点的二叉树有F（n）个，则分为根1为根，二为根，...，n为根：
F（n）= F（0）*F（n-1）+ F（1）*F（n-2）+ ... + F（n-1）*F（0）= Cn。
（7）对于一个n*n的网格，每次我们能向右或者向上移动一格，那么从左下角到右上角的所有在副对角线下方的路径数。
解：我们将一条水平边记为1,垂直边记为0，那么就组成了一个n个,1和n个0的序列，同（1）。
（8）凸n+2边形进行三角形分割数。（只连接顶点对形成n个三角形）
解：将节点按顺时针办好1~n，枚举1和其他所有点的连线情况，则：
F（n）= Σ（F（k）F（n+2-k））{2< k < n}；解得 F（n） = Cn-2。
（9）圆周上2n-2个点的不相交连弦方式。（凸2n-2多边形的顶点也成立）
解：设Bn为2n-2个点的不相交连弦方式数，则任取一点A有n-1中连弦方式（两侧必须是偶数个点）
两侧分别是2（k-1）和2（n-k-1）个点，分别为Bk和Bn-k种方式，因此Bn = Cn-1。
（10）对于集合的不交叉划分的数目。
对于集合{a,b}和{c,d}，假设他们组成了两个区间[a,b]和[c,d]，我们假设两个区间不重合，那么以下四种情况当做是不交叉的：a<c<d<b，a<b<c<d，c<a<b<d与c<d<a<b，就是说两个区间可以包含或者相离，那么此时我们称集合{a,b}和{c,d}是不交叉的。对于集合，将里面元素两两分为一子集，共n个，若任意两个子集都是不交叉的，那么我们称此时的这个划分为一个不交叉划分。
解：我们将每个子集中较小的数用左括号代替，较大的用右括号代替，那么就是（2）。
（11）n层的阶梯切割为n个矩形的切法数。
解：我们先绘制如下的一张图片，即n为5的时候的阶梯：
我们注意到每个切割出来的矩形都必需包括一块标示为*的小正方形，那么我们此时枚举每个*与#标示的两角作为矩形；
剩下的两个小阶梯就是我们的两个更小的子问题了，于是我们的注意到这里的式子就是Cn的递推公式了。
（12）在一个2*n的格子中填入1到2n使得每个格子内的数值都比其右边和上边的所有数值都小的情况数。
解：可以转化成括号匹配问题。
（13）2n个不同实数分成两组A = {a1，a2...，an}，B= {b1，b2...，bn}，使得对应的数字均有ai<bi的拆分数。
解：和上面问题等价。
（14）2n-2张选票，投给甲乙，甲任意时刻得票多于乙的情况数。
解：即01串的入栈出栈证明。
（15）不定方程 Σxi = n-1（1到n-1），满足Σ xi ≥ k （1到k）的解的个数。
解：同上。
四、卡特兰数的应用
1.给乘积X1X,X3......Xn加括号的方法数
将问题转化一下，就是爬坐标，左括号数一定要大于或者等于右括号数
2.排列三个1和三个-1，使得从左到右部分和总是非负的方法数
将问题转化一下，就是加括号的方法数，排1的个数一定要大于或者等于排的-1个数
3.给定四个1和四个0，进行排列组合，使得从左往右读0的个数不超过1的个数
将问题转化为读括号，从左往右读，左括号一定要大于或等于右括号个数。
4.来个看起来复杂点的：将1 2 3 4 5 6排成两行，使得每行3个数，并且每行从左往右读值增加，每一列小数在上
我们可以想象， 1 2 3代表左括号， 4 5 6代表右括号，为了从左往右读值增加，方法会有很多，但加上小数在上大数在下，就相当于左括号数总是大于或者等于右括号数么。假设这里的“左括号”少一个，那么下面一行对应会多一个左括号，而且因为值要求从小到大排列，即每行左括号总是在前，那么在上下对齐时，由于下面左括号要多，所以下行最后一个左括号肯定对齐着上行的右括号，是不符合要求的，但上面行的左括号要多这是没问题的。
5【阿里巴巴笔试题】：说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
将问题转化为：带5块钱的排前面的个数总是要大于带10块钱的人的个数，即C(16，8)-C(16，7)
6.【腾讯笔试题】在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
将问题转化为：还书的人总是要大于或等于借书的人，即C(6，3)-C(6，2)
7.出栈次序问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。C(2n，n)-C(2n，n-1)
8【阿里巴巴笔试题】12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
C(12，6)-C(12，5)
卡特兰数参考：http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html