【GDOI 2013模拟】屏保

题目大意

要求维护由 n 个点 ((0,h1),(2,h2)...(n−1,hn−1) 组成的折线， Q 组询问，要求支持单点修改，以及查询位于 x=a 直线下方以及折线上方的面积。

n,Q<=105

分析

这题有不少的解法，但基本的都是把折线拆成若干个独立的梯形的答案之和。

通过维护面积的解法

我们用线段树来暴力维护 fa 表示直线 x=a 以下折线下方的面积。对于一个梯形的小段我们分成一个矩形和一个三角形，矩形的部分可以将 [0,h0) 这部分区间加一，而 [h0,h1) 部分是一个等差数列，我们只需要维护一个支持区间加上一个数、区间加上一个等差数列，以及单点查询的线段树就可以了。

维护式子的解法

考虑两种情况：梯形完全在直线之下、梯形露出了个尖角，三角形不完全在直线上。
对于第一种情况直接减去整个梯形的面积即可。
对于第二种情况，直接计算对答案的贡献，暴力展开二次函数维护系数。
需要统计有哪些完全在直线以下，哪些完全在直线以上。

维护二次函数的解法

在上一种解法中提到了二次函数。我们发现即便完全在直线以下、或者完全在直线以上，也不过是一次函数或者常量。那么我们写出分段函数，用树状数组维护 fa 表示询问 x=a 时的二次函数的系数。比较方便好写。