[置顶] ROC曲线与AUC区域的理解与实践

Receiver Operating Characteristic Area Under the Curve (ROC and AUC).

如何向别人解释 ROC AUC 对评价机器学习算法的意义：

一个样本集，一半正样本，一半为负样本。如果一个机器学习算法将全部样本均预测为正（或者负），它的准确率即可达到 50%，所以 ROC AUC 实现了对样本类别比例的稳定性；

TPR FPR

Precision（精确率）:

P=TPTP+FP

Recall（召回率）

R=TPTP+FN

TPR (True Positive Rate):

TPR=TPTP+FN

FPR (False Positive Rate):

FPR=FPFP+TN

def TPR(y_true, y_pred):
    return ((y_true==1)*(y_pred==1)).sum()/(y_true==1).sum()
def FPR(y_true, y_pred):
    return ((y_true==0)*(y_pred==1)).sum()/(y_true==0).sum()

如何plot ROC curve

对于一个特定的分类器与测试数据集，显然只能得到一个分类结果，即一组TPR与FPR值，而要画出一个曲线，我们便需要一系列的FPR与TPR值。我们来看 Wikipedia对其的定义，

In signal detection theory, a receiver operating characteristic (ROC), or simply ROC curve, is a graphical plot which illustrates the performance of a binary classifier system as its discrimination threshold is varied.

如何理解这里的 discrimination threshold呢？其实我们忽略了分类器的一个重要功能是“概率输出”，即表示分类器某个样本以多大的概率属于正样本或负样本。对于0，1二分类问题，一些分类器得到的其实不是简单的0和1，如神经网络，得到诸如0.5, 0.8这样的分类结果。这时，如果我们人为指定一个阈值（threshold），比如0.4，那么小于0.4的为0类，大于等于0.4的则为1类，则可得一个分类结果（该分类结果再跟真实的结果相结合，可进而计算TPR与FPR）。

阈值不同，可以得到不同的结果，但是由于分类器所决定的统计图始终是不变的。这时候就需要一个独立于阈值，只与分类器有关的评价指标，来衡量特定分类器的好坏。

假如我们已经得到了所有样本的概率输出（属于正样本的概率），现在的问题是如何改变“discrimination threshold”呢？我们根据每个训练样本属于正样本的概率值从大到小进行排序。下图为某一示例，共20个训练样本，”Class”一列表示每个样本真正的标签（p为正样本，n表示负样本），”Score”表示每个测试样本属于正样本的概率。

接下来，我们从高到低，依次将”Score”值作为阈值（threshold）。每次选取一个不同的 threshold，我们就可以得到一组FPR和TPR，这样一来我们共得到20组FPR与TPR的值，即得ROC curve：

def main():
    y_true = np.array([1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 
                       1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0])
    y_hat = np.array([.9, .8, .7, .6, .55, .54, .53, .52, .51, .505,
                      .4, .39, .38, .37, .36, .35, .34, .33, .30, .1])
    threshs = sorted(y_hat, reverse=True)
    tprs, fprs = [], []
    for thresh in threshs:
        y_pred = np.where(y_hat < thresh, 0, 1)
                        # np.where, numpy版的三目运算符
        tprs.append(TPR(y_true, y_pred))
        fprs.append(FPR(y_true, y_pred))
    plt.plot(fprs, tprs, 'k--', lw=2)
    plt.scatter(fprs, tprs, c='k', marker='x', s=50)
    plt.plot(np.arange(-.05, 1.05, .01), np.arange(-.05, 1.05, .01), '--', color='lightgray')
    plt.xlabel('False positive rate')
    plt.ylabel('True positive rate')
    plt.xlim([0-.05, 1+.05])
    plt.ylim([0-.05, 1+.05])
    plt.show()
if __name__ == '__main__':
    main()

当threshold取值越多，ROC曲线越光滑。

AUC值的计算

AUC（Area Under Curve）被定义为ROC曲线下的面积，显然这个面积的数值不会大于1，整个ROC空间为坐标轴上的 [0,1]×[0,1] 。又由于ROC曲线一般都位于 y=x 这条直线的上方（如上图的虚线所示），所以AUC的取值范围在0.5和1之间。使用AUC作为评价指标是因为很多时候，ROC曲线并不能清晰地说明哪个分类器的效果更好，而作为一个数值，对应AUC更大的分类器效果更好。

∑所有正样本rank−M(M+1)/2M×N

首先把所有样本按照score排序，依次用rank表示，最大score的样本，rank=n (n=M+N)，其次为 n-1。

这里不妨给出一份AUC的计算代码：

def AUC(y_true, scores):
    M = (y_true==1).sum()            # M：正样本个数
    N = (y_true==0).sum()            # N：负样本个数
    I = np.argsort(scores)
    rank = 0
    for i in range(1, 1+len(I)):
        if y_true[I[-i]] == 1:
            rank += len(I)-i+1
    return (rank-M*(M+1))/(M*N)

为什么使用ROC Curve

既然已经存在那么多评价标准，为什么还要使用ROC和AUC呢？因为ROC曲线有个很好的特性：当训练集中的正负样本的分布（np.bincount(y_train)）变化的时候，ROC曲线能够保持不变，也即ROC不受训练集类别分布的影响。因为在实际的训练集中经常会出现类不平衡（class imbalance）现象，即正样本占90%，或者相反（此时如果一个将所有样本当预测为正样本的分类器，也能得到90%的准确率，显然这样毫无意义）。

References

ROC曲线与AUC
ROC和AUC介绍以及如何计算AUC