树链剖分

    树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。

    记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的重链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲，son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（姑且称为重儿子），w[v]表示v与其父亲节点的连边（姑且称为v的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成原问题中的操作。

    重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
    轻儿子：v的其它子节点。
    重边：点v与其重儿子的连边。
    轻边：点v与其轻儿子的连边。
    重链：由重边连成的路径。
    轻链：轻边。

    剖分后的树有如下性质：
    性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
    性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。
   

    算法实现：
    我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。
    dfs_1：把fa、dep、siz、son求出来，比较简单，略过。
    dfs_2：⒈对于v，当son[v]存在（即v不是叶子节点）时，显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记w[son[v]] = totw+1，totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行dfs_2(son[v])；
           ⒉对于v的各个轻儿子u，显然有top[u] = u，并且w[u] = totw+1，进行dfs_2过程。
           这就求出了top和w。
    将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。

    修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
    一般人需要先求LCA，然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。
    记f1 = top[u]，f2 = top[v]。
    当f1 <> f2时：不妨设dep[f1] >= dep[f2]，那么就更新u到f1的父边的权值(logn)，并使u = fa[f1]。
    当f1 = f2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成；
    重复上述过程，直到修改完成。

    求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。
    就这样，原问题就解决了。鉴于鄙人语言表达能力有限，咱画图来看看：

    如下图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。

    当要修改11到10的路径时。
    第一次迭代：u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此时dep[f1] < dep[f2]，因此修改线段树中的5号点，v = 4, f2 = 1；
    第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中10--11号点。u = 2，f1 = 2；
    第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中9号点。u = 1，f1 = 1；
    第四次迭代：f1 = f2且u = v，修改结束。

    数据规模大时，递归可能会爆栈，而非递归dfs会很麻烦，所以可将两个dfs改为宽搜+循环。即先宽搜求出fa、dep，然后逆序循环求出siz、son，再顺序循环求出top和w。

附上Kuangbin的HDU 5029 代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
struct Edge
{
    int to,next;
} edge[MAXN*2];
int head[MAXN],tot;
int top[MAXN];
int fa[MAXN];
int deep[MAXN];
int num[MAXN];
int p[MAXN];
int fp[MAXN];
int son[MAXN];
int pos;
void init()
{
    tot = 0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    pos = 1;
    memset(son,-1,sizeof(son));
}
void addedge(int u,int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}
void dfs1(int u,int pre,int d)
{
    deep[u] = d;
    fa[u] = pre;
    num[u] = 1;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(v != pre)
        {
            dfs1(v,u,d+1);
            num[u] += num[v];
            if(son[u] == -1 || num[v] > num[son[u]])
                son[u] = v;
        }
    }
}
void getpos(int u,int sp)
{
    top[u] = sp;
    p[u] = pos++;
    fp[p[u]] = u;
    if(son[u] == -1)return;
    getpos(son[u],sp);
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(v != son[u] && v != fa[u])
            getpos(v,v);
    }
}
vector<int>avec[MAXN],dvec[MAXN];
void change(int u,int v,int z)
{
    int f1 = top[u],f2 = top[v];
    int tmp = 0;
    while(f1 != f2)
    {
        if(deep[f1] < deep[f2])
        {
            swap(f1,f2);
            swap(u,v);
        }
        avec[p[f1]].push_back(z);
        dvec[p[u]+1].push_back(z);
        u = fa[f1];
        f1 = top[u];
    }
    if(deep[u] > deep[v])swap(u,v);
    avec[p[u]].push_back(z);
    dvec[p[v]+1].push_back(z);
}
struct Node
{
    int l,r;
    int Max,id;
    void output()
    {
        printf("l %d r %d Max %d id %d\n",l,r,Max,id);
    }
} segTree[MAXN<<2];
void debug(int i)
{
    segTree[i].output();
    if(segTree[i].l == segTree[i].r)return;
    debug(i<<1);
    debug((i<<1)|1);
}
void push_up(int i)
{
    if(segTree[i<<1].Max < segTree[(i<<1)|1].Max)
    {
        segTree[i].Max = segTree[(i<<1)|1].Max;
        segTree[i].id = segTree[(i<<1)|1].id;
    }
    else
    {
        segTree[i].Max = segTree[i<<1].Max;
        segTree[i].id = segTree[i<<1].id;
    }
}
void build(int i,int l,int r)
{
    segTree[i].l = l;
    segTree[i].r = r;
    if(l == r)
    {
        segTree[i].id = l;
        segTree[i].Max = 0;
        return;
    }
    int mid = (l+r)/2;
    build(i<<1,l,mid);
    build((i<<1)|1,mid+1,r);
    push_up(i);
}
void update(int i,int k,int val)
{
    if(segTree[i].l == k && segTree[i].r == k)
    {
        segTree[i].Max += val;
        return;
    }
    int mid = (segTree[i].l+segTree[i].r)/2;
    if(k <= mid)update(i<<1,k,val);
    else update((i<<1)|1,k,val);
    push_up(i);
}
int ans[MAXN];
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m) == 2)
    {
        if(n == 0 && m == 0)break;
        init();
        int u,v;
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            addedge(u,v);
            addedge(v,u);
        }
        dfs1(1,0,0);
        getpos(1,1);
        for(int i = 1; i <= 100000; i++)
        {
            avec[i].clear();
            dvec[i].clear();
        }
        int z;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
            change(u,v,z);
        }
        build(1,1,100000);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            //debug(1);
            //printf("%d %d\n",avec[i].size(),dvec[i].size());
            for(int j = 0; j < avec[i].size(); j++)
            {
                update(1,avec[i][j],1);
                //printf("%d *\n",avec[i][j]);
            }
            for(int j = 0; j < dvec[i].size(); j++)
            {
                update(1,dvec[i][j],-1);
                //printf("%d **\n",dvec[i][j]);
            }
            u = fp[i];
            //printf("i  %d  %d\n",i,fp[i]);
            if(segTree[1].Max == 0)ans[u] = 0;
            else ans[u] = segTree[1].id;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            printf("%d\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}