树链剖分+LCT

前言

• 填了一个巨坑，然而还有很多巨坑要填
• 本片主要内容为LCT+树链剖分

引子

• 有一类问题，要求在一个序列中做区间修改，区间查询
• 可以用线段树解决这一类问题
• 有另一类问题，要求在一个序列中做区间修改，区间查询，还要求插入删除，区间反转，区间循环移动等等坑爹的操作（维修数列）
• 可以用splay来解决这一类问题
• 现在我们要把这些操作拓展到树上

树链剖分

给定一棵形态不变的树，要求支持查询一条链，修改一条链

0x00 基本思想

• 序列（只有一条链）上的问题我们已经可以解决
• 我们尝试把这个树拆成很多条链来解决
• 一种有效的办法是随机剖分（期望log）
• 更稳定的办法是轻重链剖分

0x01 轻重链剖分

• 定义一个节点的size是以这个节点为根的子树中的节点数
• 每个节点与其size最大的儿子的连边定义为重边，其他为轻边
• 重边构成的极大链被称为重链（应该都知道极大和最大的区别吧？）
• 如果用线段树维护每条重链，那么对于每次查询，重链上的复杂度是 重链段数*log
• 那么重链段数最多有多少呢？
• 容易发现重链数=轻边数+1
• 而且每经过一条轻边，子树大小都至少翻倍（类似于启发式合并）
• 所以轻边数是log级别的
• 那么重边数也是log级别的
• 那么每次查询就是log^2级别的
• 所以总复杂度是$ O(q\log^2{n}) $

0x02 具体实现

• 第一次dfs求出每个节点的size，depth，father，重儿子
• 第二次dfs先走重儿子，求出每个节点的dfn和top（这个节点所在的重链顶端）

• 查询（修改类似）的时候

1. 两个节点的top不同，goto 2，否则goto 3
2. 让深度大的一个节点跳到它top的father并且在答案中更新这一段，goto 1
3. 在线段树上查询两个节点的中间一段，结束查询

0x03 Extra

• 如何维护链同时支持子树查询？
• 发现虽然第二次dfs改变了dfs序，但是一个子树中的dfn还是连续的一段
• 在每个节点中维护一下这个节点为根的子树中最大的dfn，修改比链还要简单

0x04 模板题

• 软件包管理器，真·模板题，兼顾子树查询和链查询

  LCT

  给定一棵形态变化的树，要求支持查询和修改一条链

0x00 基本思想

• 形态变化那只好splay啦
• 还是维护一些链
• 只不过因为形态会变化，不能轻重链剖分了
• 运用splay的思想，splay把最近操作过的节点splay到根，在LCT中我们把最近操作过的节点到根的路径剖成一条链
• 用splay维护一条链，这个splay叫做auxiliary tree

0x01 一些定义

• father：如果一个点不是所在splay的根，那么这个father指的是auxiliary tree中的father（即与普通splay中的father含义相同），如果这个点是所在splay的根，那么这个点的father指的是splay中深度最小的节点的真·父亲（即原树上的父节点）
• child：splay中的孩子，不维护原树上的孩子

• 偏爱儿子：最后一次被access过的儿子（在access路径上的儿子），特别的，如果access的节点是p，那么p没有偏爱儿子

  0x02 基本操作

  splay的操作

• 要注意整个LCT实际上在实现的时候只用一棵splay维护，并不是很多很多splay

• 注意LCT中的father和普通splay中的father有区别，在旋转的时候要注意改儿子的问题（一个节点可能不是他的father的child）

  access

• 把一个节点p到根的路径变成偏爱路径
• 首先p不能有偏爱儿子了，把p splay到根，断开右儿子
• :loop
• 把p的father splay到根，把p接到它father的右儿子上

• 如果还没到根，p=p->father，goto loop

  make_root

• 把p变为LCT的根
• 异常简单
• access(p)
• splay(p)
• 给p打一个翻转标记

• 原理：实际上p到根的路径上深度都反过来了，其他部分树的形态并未改变，加个翻转标记即可

  link

• 在p,q两个节点间加一条边（保证仍是一个森林）
• make_root(p)

• p->father=q

  cut

• 把p,q间的边断掉
• make_root(p)
• access(q)
• splay(q)

• 断掉q的左儿子即可

  链上修改

• make_root(p)
• access(q)
• splay(q)

• 对q像splay那样打标记就行了

  维护联通性

• 暴力p=p->father，看最后是否相同

0x03 假如我非要加入子树操作呢

• 不好意思LCT不能同时支持子树修改和子树查询
• 仅支持子树查询可以维护虚边信息
• 仅支持子树修改非常难搞，我也不会写

0x04 假如我非要维护边的信息呢

• 懒办法：把一条边拆成两条边一个点，在点上维护信息

0x05 模板题

• 洞穴勘测
• 弹飞绵羊

总结

• 比想象中的好写多了。。。

转载于:https://www.cnblogs.com/LoveYayoi/p/6745541.html