斜率大法题库

[bzoj3675][Apio2014]序列分割

题目大意及模型转换

给定一个由N个元素组成的序列，你现在要对其做M次操作。每次操作如下：
1、选择一个长度大于1的序列，找到任意一个合法位置，将其分割成两个长度不为0的序列。
如[3,2,5,7,8]可以在2后面进行分割变为[3,2]和[5,7,8]。
2、如此做可以获得分数为两个分割后的序列元素之和相乘。
请使总分数最大。
每个元素都为正数，n<=100000,k<=min(n-1,200)。

DP做法

我们应该意识到切的先后顺序是没有用的。
设f[i,k]表示前i个元素被分割了k次，获得的最大总分。
设sum[i]表示1到i元素的前缀和。
显然 f[i,k]=max(f[j,k−1]+sum[j]∗(sum[i]−sum[j]))
这个DP可以在 O(N2∗M)的复杂度内完成。

斜率大法好

我们可以固定一个k，然后看看是否可以进行斜率优化。
固定k后我们固定一个i，然后比较决策j优于决策l的条件。

f[j,k−1]+sum[j]∗sum[i]−sum[j]2>f[l,k−1]+sum[l]∗sum[i]−sum[l]2

f[j,k−1]−f[l,k−1]+sum[l]2−sum[j]2>sum[i]∗(sum[l]−sum[j])

f[j,k−1]−f[l,k−1]+sum[l]2−sum[j]2sum[l]−sum[j]>sum[i]

那么我们左边与i无关。
每个元素都是正数，右边的sum[i]会递增。
为了保证sum[l]-sum[j]>0，因此要保证j < l。
我们开单调队列。
那么新加入的放队尾，最优的取队头。
对于固定的k。
设 g(j,l)=f[j,k−1]−f[l,k−1]+sum[l]2−sum[j]2sum[l]−sum[j]
那么单调队列内需保证相邻三元素，前两个的g值小于后两个的g值。
复杂度 O(NM) 。

[火影完结纪念赛]木叶的军师

题目大意及模型转换

给定N个正整数，要求分成M组。每组带来的价值为这组的最大值与最小值差的平方。请使总价值最小。n<=10000,m<=5000。

DP做法

可以贪心的得知，排个序以后，连续的分成一组一定最优。
设f[i,k]表示前i个数分成k组最小总价值。
则 f[i,k]=min(f[j,k−1]+(a[i]−a[j+1])2)

斜率大法好

同第一题，固定k与i，那么j和l哪个优呢？
设j优于l，需满足：
f[j,k−1]+(a[i]−a[j+1])2<f[l,k−1]+(a[i]−a[l+1])2

f[j,k−1]−f[l,k−1]+a[j+1]2−a[l+1]2<2∗a[i]∗(a[j+1]−a[l+1])

f[j,k−1]−f[l,k−1]+a[j+1]2−a[l+1]2a[j+1]−a[l+1]>2∗a[i]

注意为什么变号。
因为我们要j < l。排序后a[j+1]-a[l+1]<=0。
对于等于0的情况，我们进行合并（容易得知合并后不会造成什么影响，因为相同的一定分在同一组）。
那么小于0，两端相除一个负数，自然要进行变号。

待补充