二分搜索
对《挑战程序设计竞赛》的一个记录
第三章 出类拔萃——中级篇
3.1 二分搜索
（1） 从有序数组中查找某个值
这个是最常见的二分搜索，在这就不多说了
（2）假定一个解并判断是否可行
之前不知道原来二分有那么多用处，往下看
poj 1064
有N条绳子，他们的长度分别为Li，如果从他们中切割出K条相同的绳子的话，这K条绳子每段最长能有多长？答案保留到小数点后2位。
已知：
1≤N≤10000
1≤K≤10000
1≤Li≤100000
sample input
N = 4
K = 11
L = {8.02，7.43，4.57，5.39}
sample output
2.00（每条绳子可以得到4条，3条，2条，2条，总计11条）
二分搜索模型的建立，令条件C(x):=可以得到K条长度为x的绳子
我们要二分的是绳子的长度，已知最小长度为0（l = 0），最大长度为最长绳子的长度(r = INF),当二分到某个值时，如果能得到的绳子数>K,表明当前值小了，还可以切更大的
这题要注意的是最后输出时，长度不要四舍五入后的值，例如2,005我要的是2.00而不是2.01，如果直接printf("%.2lf",ans),会自动四舍五入的。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#define sf scanf
#define pf printf
#define eps 1e-10
using namespace std;
const int Maxn = 10010;
double len[Maxn];
int n,k;
int getnum(double mid)
{
int num = 0;
for(int i = 0;i < n;i ++)
num += (int)(len[i]/mid);
return num;
}
double solve(double r)
{
double l = 0;
while(l - r < -eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if(getnum(mid) < k)
r = mid;
else
l = mid;
}
return r;
}
int main()
{
while(~sf("%d%d",&n,&k))
{
double Max = 0;
for(int i = 0;i < n;i ++)
{
sf("%lf",&len[i]);
if(len[i] > Max)
Max = len[i];
}
double ans = solve(Max);
pf("%.2f\n",floor(ans * 100) / 100);
}
return 0;
}
（3） 最大化最小值
poj 2456 Aggressive cows
农夫约翰搭了一间有N见牛舍的小屋。牛舍排在一条线上，第i号牛舍在xi的位置，但是他的M头牛对小屋很不满意，因此经常相互攻击，约翰为了防止牛之间互相伤害，因此决定把每头牛放在离其他牛尽可能远的牛舍，也就是最大化最近的两头牛之间的距离。
已知：
2≤N≤100000
2≤M≤N
0≤Xi≤10^9
sample input
N = 5
M = 3
x = {1,2,8,4,9}
sample output
3(在位置1,4,8的牛舍中放入三头牛)
这道题其实跟上一题其实很像，我们可以定义C(d):=可以安排牛的位置使得任意牛的间距不小于d
首先按牛舍的距离排序
二分到某个d值后，从第一个牛舍开始放牛，找到一个牛舍使得它与之前放牛的牛舍距离≥d，再放入一头牛，依次计算，得到一共能放k头牛，如果k>M,说明二分的d值太小，还可以继续扩大。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#define sf scanf
#define pf printf
using namespace std;
const int Maxn = 100010;
int n,k;
int x[Maxn];
int getnum(int mid)
{
int num = 1;
int f = x[0];
for(int i = 1;i < n;i ++)
{
if(x[i] - f >= mid)
{
num ++;
f = x[i];
}
}
return num;
}
int solve(int l,int r)
{
while(l <= r)
{
int mid = (l + r) / 2;
if(getnum(mid) < k)
r = mid - 1;
else
l = mid + 1;
}
return r;
}
int main()
{
while(~sf("%d%d",&n,&k))
{
for(int i = 0;i < n;i ++)
sf("%d",&x[i]);
sort(x,x + n);
pf("%d\n",solve(0,x[n - 1] - x[0]));
}
return 0;
}
（4） 最大化平均值
有n个物品的重量和价值分别问wi和vi，从中选出k个物品使得单位重量的价值最大
已知：
1≤k≤n≤10^5
1≤wi,vi≤10^6
sample input
n = 3
k = 2
{w,v} = {{2,2},{5,3},{2,1}}
sample output
0.75(如果选择0号和2号，平均价值为（2 + 1）/(2 + 2) = 0.75)
这题的想法比前两个难一点，首先想到的就是对平均值进行二分枚举，但是枚举到值后，怎么去确定到底是由哪些物品构成了这个平均值。
换个思路，如果是按贪心的方法，把物品按单位价值进行排序，从大到小进行贪心地进行选取，但是这个方法的得到的结果是5/7 = 0.714,那到底该如何求解呢？
还是二分，我们定义条件C(x):=可以选择使得单位重量的价值不小于x。我们选择某些物品的集合S，使得其单位重量的价值为
因此判断是否存在S满足下面的条件：
即
因此对vi-x*wi进行贪心的选取就好了，按vi-x*wi从大到小排，如果前k个值使得不等式成立，则这个集合S是符合条件的，可以继续扩大x的范围。
poj 3111 代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#define sf scanf
#define pf printf
#define eps 1e-7
using namespace std;
const int Maxn = 100010;
int n,k;
int ans[Maxn];
struct node
{
double w,v;
double perval;
int p;
};
node jew[Maxn];
double cmp(node x,node y)
{
return x.perval > y.perval;
}
int getnum(double mid)
{
for(int i = 0;i < n;i ++)
jew[i].perval = jew[i].v - jew[i].w * mid;
sort(jew,jew + n,cmp);
double num = 0;
for(int i = 0;i < k;i ++)
num += jew[i].perval;
return num >= 0;
}
void solve(double l,double r)
{
while(l - r < -eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if(getnum(mid))
{
l = mid;
for(int i = 0;i < k;i ++)
ans[i] = jew[i].p;
}
else
r = mid;
}
}
int main()
{
while(~sf("%d%d",&n,&k))
{
double Max = 0;
for(int i = 0;i < n;i ++)
{
sf("%lf%lf",&jew[i].v,&jew[i].w);
jew[i].p = i + 1;
if(jew[i].v / jew[i].w > Max)
Max = jew[i].v / jew[i].w;
ans[i] = i + 1;
}
solve(0,Max);
sort(ans,ans + k);
pf("%d",ans[0]);
for(int i = 1;i < k;i ++)
pf(" %d",ans[i]);
pf("\n");
}
return 0;
}