最大流问题及Ford-Fulkerson方法

流网络

流网络是一个有向图， G=(V,E) ,图中的每条边有一个非负的容量值 c(u,v)≥0 .如果 (u,v)∉E ,则定义 c(u,v)=0 。且在流网络中含有两个特殊的点：源节点 s 和汇结点 t 。
流网络的形式化定义如下：
设 G=(V,E) 为一个流网络，其容量函数为 c 。 G 中的流是一个实值函数 f:V×V→R ,满足如下性质：

• 容量限制：对于所有结点 u,v∈V ,其中 0≤f(u,v)≥c(u,v) .

• 对于所有结点 u∈V−s,t ，其中

  ∑v∈Vf(v,u)=∑v∈Vf(u,v)

f(u,v) 为从结点 u 到结点 v 的流。

流

一个流的值 |f| 定义为：

|f|=∑v∈Vf(s,v)−∑v∈Vf(v,s)

即，流 f 的值为从源结点流出的总流量 减去流入源结点的总流量。

最大流问题就是在给定的流网络中找到最大的流。

Ford-Fulkerson

之所以称它为方法，是因为它本身包含了几种运行时间各不相同的具体实现。
在了解Ford-Fulkerson方法之前，我们先来看以下几个概念。

残存网络

在给定的流网络 G 和流 f ,* 残存网络 Gf *由那些仍有空间对流量进行调整的边构成。其残存流量定义为

cf(u,v)=c(u,v)−f(u,v)

只有当 cf(u,v)>0 ,才将边 <u,v> 加入到残次网络中。
更一般的，残存容量可以定义为：
假定有一个流网络 G=(V,E) ,其源结点为 s ,汇结点为 t 。设 f 为图 G 中的一个流，考虑结点对 u,v∈V 的残存容量 cf(u,v) ：

cf(u,v)=⎧⎩⎨c(u,v)−f(u,v),f(u,v)0若(u,v)∈E若(u,v)∈E其他

而残存网络的每条边，即残存边必须允许大于0的流量通过。