【Caffe实践】损失函数解析

Caffe中的损失函数解析

导言

在有监督的机器学习中，需要有标签数据，与此同时，也需要有对应的损失函数（Loss Function）。

在Caffe中，目前已经实现了一些损失函数，包括最常见的L2损失函数，对比损失函数，信息增益损失函数等等。在这里做一个笔记，归纳总结Caffe中用到的不同的损失函数，以及分析它们各自适合的使用场景。

欧式距离损失函数（Euclidean Loss）

输入：

预测的值： y ^ ∈[−∞,+∞]  , 其中，它们的形状为： N×C×H×W 

标签的值： y∈[−∞,+∞]  , 其中，它们的形状为： N×C×H×W 

输出：

损失的值： Loss=12N ∑ N n=1 ∥y ^  n −y n ∥ 2 2  

适合场景：

回归，特别是其回归的值是实数值得时候。

对比损失函数（Contrastive loss）

输入：

形状： (N×C×1×1)  特征 a∈[−∞,+∞] 

形状： (N×C×1×1)  特征 b∈[−∞,+∞] 

形状： (N×1×1×1)  相似性 y∈[0,1] 

输出：

形状： (1×1×1×1) 

对比损失函数为: E=12N ∑ n=1 N (y)d+(1−y)max(margin−d,0) 

其中 d=||a n −b n || 2 2   .

适合场景：

可以用来训练Siamese网络

铰链损失函数（Hinge Loss）

输入：

形状： (N×C×H×W)  预测值 t∈[−∞,+∞]  代表着预测 K=CHW  个类中的得分（注：CHW表示着在网络设计中，不一定要把预测值进行向量化，只有其拉直后元素的个数相同即可。） . 在SVM中, t  是 D 维特征 X∈R D×N   , 和学习到的超平面参数 W∈R D×K   内积的结果 X T W 
所以，一个网络如果仅仅只有全连接层 + 铰链损失函数，而没有其它的可学习的参数，那么它就等价于SVM

标签值：

(N×1×1×1)  标签 l  , 是一个整数类型的数 l n ∈[0,1,2,...,K−1]  其代表在 K  个类中的正确的标签。

输出：

形状： (1×1×1×1) 
损失函数计算: E=1N ∑ n=1 N ∑ k=1 K [max(0,1−δ{l n =k}t nk )] p   , L p   范数 (默认是 p=1  , 是 L1 范数; L2 范数,正如在 L2-SVM中一样,也有实现),

其中 δ{条件}={1−1 成立不成立  

应用场景：

在一对多的分类中应用,类似于SVM.

信息增益损失函数（InformationGain Loss）

输入：

1. 形状： (N×C×H×W)  预测值 p ^ ∈[0,1]  内， 表示这预测每一类的概率，共 K=CHW  个类， 每一个预测 概率 p ^  n   的和为1: ∀n∑ k=1 K p ^  nk =1  .

2. 形状： (N×1×1×1)  标签值： l  , 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K−1]  表示着在 K  个类中的索引。

3. 形状： (1×1×K×K)  (可选) 信息增益矩阵 H  .作为第三个输入参数，. 如果 H=I  , 则它等价于多项式逻辑损失函数

输出：

形状： (1×1×1×1) 

计算公式: E=−1N ∑ n=1 N H l n  log(p ^  n )=−1N ∑ n=1 N ∑ k=1 K H l n ,k log(p ^  n,k )  , 其中 H l n    表示 行 l n   of H  .

多项式逻辑损失函数（Multinomial Logistic Loss）

输入：

形状： (N×C×H×W)  预测值 p ^ ∈[0,1]  范围中， 表示这预测的每一类的概率，共 K=CHW  个类. 每一个预测概率 p ^  n   的和为1: ∀n∑ k=1 K p ^  nk =1  .

形状： (N×1×1×1)  标签 l  , 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K−1]  表示着在 K  个类中的索引。

输出：

形状： (1×1×1×1)  计算公式: E=−1N ∑ n=1 N log(p ^  n,l n  ) 

应用场景：

在一对多的分类任务中使用，直接把预测的概率分布作为输入.

Sigmoid 交叉熵损失函数（Sigmoid Cross Entropy Loss）

输入：

1. 形状: (N×C×H×W)  得分 x∈[−∞,+∞]  , 这个层使用 sigmoid 函数 σ(.)  映射到概率分布 p ^  n =σ(x n )∈[0,1] 

2. 形状: (N×C×H×W)  标签 y∈[0,1] 

输出：

1. 形状： (1×1×1×1)  计算公式: E=−1n ∑ n=1 N [p n logp ^  n +(1−p n )log(1−p ^  n )] 

应用场景：
预测目标概率分布

Softmax+损失函数(Softmax With Loss)

输入：

1. 形状： (N×C×H×W)  预测值 x∈[−∞,+∞]  代表预测每个类的得分。 共 K=CHW  类. 这一层把得分通过softmax映射到概率分布 p ^  nk =exp(x nk )/[∑ k ′  exp(x nk ′  )] 

2. 形状： (N×1×1×1)  标签值 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K−1]  表示着在 K  个类中的索引。

输出：

1. 形状： (1×1×1×1)  计算公式: E=−1N ∑ n=1 N log(p ^  n,l n  )  , 其中 p ^   为softmax输出的类概率。

应用场景：

在一对多分类中应用。