HDU 5667 Sequence【矩阵快速幂】【欧拉函数】

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

思路

给你 fn=⎧⎩⎨⎪⎪1,ab,abfcn−1fn−2,n=1n=2otherwise ，叫你求 fn 。

首先因为两边都是a为底的，所以取个log，那么a的幂 wn=b+c×wn−1+wn−2 ，这个式子可以用矩阵快速幂算出来。

⎛⎝⎜c10100101⎞⎠⎟n−1×⎛⎝⎜w2w1b⎞⎠⎟=⎛⎝⎜wn+1wnb⎞⎠⎟

然后 fn=awn ，这个也用快速幂去算就行了。

要注意的是 Ab%C=Ab%ϕ(c)+ϕ(c)%C
因为 c=p 是素数，所以 ϕ(p)=p−1 ，所以在矩阵乘法里模 p−1 ，算 awn 时模 p 。

然后要注意就是有一个坑，就是当 a%p=0 且 wn%p=0 时， awn%p 理应为0，但 a0 算出来会是1，所以要特判下。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll MOD;
const int N=3;
struct matrix
{
    ll mat[N][N];
    matrix(void)
    {
        memset(mat,0,sizeof mat);
    }
    matrix friend operator * (matrix a, matrix b)
    {
        int n=N;
        matrix ans;
        for(int i=0 ; i<n ; ++i)
        {
            for(int j=0 ; j<n ; ++j)
            {
                int sum=0;
                for(int k=0 ; k<n ; ++k)
                {
                    sum+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%(MOD-1);
                    sum%=(MOD-1);
                }
                ans.mat[i][j]=sum;
            }
        }
        return ans;
    }
};

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll n,a,b,c;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&MOD);
        if(n==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            printf("%lld\n",b);
            continue;
        }
        if(a%MOD==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        matrix A;
        A.mat[0][0]=c;A.mat[0][1]=1;A.mat[0][2]=1;
        A.mat[1][0]=1;A.mat[1][1]=0;A.mat[1][2]=0;
        A.mat[2][0]=0;A.mat[2][1]=0;A.mat[2][2]=1;

        matrix ans;
        ans.mat[0][0]=1;ans.mat[0][1]=0;ans.mat[0][2]=0;
        ans.mat[1][0]=0;ans.mat[1][1]=1;ans.mat[1][2]=0;
        ans.mat[2][0]=0;ans.mat[2][1]=0;ans.mat[2][2]=1;

        n--;
        while(n)
        {
            if(n&1)
            {
                ans=ans*A;
            }
            A=A*A;
            n>>=1;
        }
        ll wn=(ans.mat[1][0]*b+ans.mat[1][2]*b)%(MOD-1);

        ll res=1;
        while(wn)
        {
            if(wn&1)
            {
                res*=a;
                res%=MOD;
            }
            a=a*a;
            a%=MOD;
            wn>>=1;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }

    return 0;
}