代数学的任督二脉——《数学是什么》读书笔记（3）

乐乐老师/文

数学中最无法回避的部分有三：分析、代数和几何。微积分将我们从初等数学阶段带入了高等数学阶段，而分析便是在微积分的基础之上建立起来的。在后微积分时代，数学得到了极大的发展，出现了许多实用又美妙的分支。相比之下，代数和几何的历史要比分析悠久得多，在人类文明的初期，他们就开始帮助人们解决各种各样的问题。

我们今天说一下代数。

至少在数学上，汉语展现了其“直接”的气质。许多数学名词都直接解释了其最本质的含义，例如代数。

代数二字何解？直接的解释就是“代替数字”。什么代替数字呢？未知数。所以，代数在很长的一段时间里，都是研究方程的。这里要说明一下，现代数学包含“方程”这一分支，但是这一分支所研究的方程指的是“微分方程”，方程中含有导数或者微分，方程的解是函数，它是从微积分发展而来的。而我们说的代数中的“方程”不含导数和微分，和“微分方程”有着明显的区别，我们说的是“代数方程”。

我们常见的代数方程有两类：

1. 多元一次方程组；
   
   
2. 一元高次方程。

多元一次方程组又称为“线性方程组”，那么问题来了：什么是线性呢？所谓“线性”，就是“直线性”。直线的方程可以表示为 y=ax+b ，在这个方程中有两个运算：“加法”和“数乘”。所以，这两个运算称为“线性运算”；利用线性运算将两个东东组合在一起叫“线性组合”；含线性运算的式子叫“线性表达式”；一些东东的线性组合等于零，这些东东称为“线性相关”，相反称为“线性无关”；一个集合上定义两个线性运算，如果它们能满足一些性质，这个集合就构成了“线性空间”……这些与“线性”有关的，由解线性方程组发展而来的学科就叫做“线性代数”。

如果代数有任督二脉的话，由解多元一次方程组发展的“线性代数”是其中的一脉。

河南师范大学编著的《线性代数》教材

代数的另一脉是由解一元高次方程发展而来的。早在公元前19~17世纪，古巴比伦就解决了一元一次方程和一元二次方程的求根问题，人们很容易求出它们的代数解（又有新名词出现了，什么是代数解呢？代数解就是用方程系数的加、减、乘、除、乘方、开方六种运算表示的解）。人们后来发现求一元三次方程的代数解太困难了，这一难题困扰了大家很多很多年。

直到1515年，情况才有所改观。

当时有一位意大利的数学家叫菲洛，他解决了缺二次项的一元三次方程的求解问题，但是没有公开，只偷偷地告诉了他的一个学生。而这位不知天高地厚的学生在菲洛死后（1535年）挑衅意大利另一位数学家塔尔塔利亚，没想到塔尔塔利亚几天时间就把他给出的一些缺二次项的一元三次方程问题解决了，还找出了解一般（不缺二次项）的一元三次方程的解法。高潮来了，他反戈一击，将这些一般方程回敬给这位学生，学生顿时傻眼了。所谓“强中自有强中手，一山还有一山高”，就是这个意思。

剧情继续往狗血的方向发展。有一位数学物理学家卡丹得知此事，请求塔尔塔利亚告诉他这个秘密，并发誓绝对保密，老塔相信了。可惜卡丹不是什么正人君子，他最终还是在1545年将这一方法发表在他的《大术》一书中，一般一元三次方程的解法终于得见天日。有人痛斥卡丹不遵守约定，但另一些人却感谢他背负骂名向整个世界做出了贡献。正像阿拉伯数字由印度人发明，由阿拉伯人传播，后来以传播者命名一样，这一公式后来称作卡丹公式，而不是塔尔塔利亚公式。

卡丹不仅有一副好胆子，还有一个好学生。1540年，他的学生弗尔拉里在一元三次方程解的基础上，得到了一元四次方程的求解公式。

情况越来越乐观，其他人只需要沿着这条路走下去，应该就可以得出一元五次、六次、七次……方程的求解公式。让我们大干一场吧！

两百多年转瞬即逝，在这岁月长河中多少自认为聪慧异于常人的数学家向一元五次方程发起挑战，最终都败下了阵来。

这是怎么回事？哪里出问题了？

1770年，大力发展微积分的法国数学家拉格朗日，引入了排列和置换的概念，写出了《关于代数方程解法的思考》的长文，弱弱地说，“也许……也许高于四次的一般代数方程就没有代数解”。人们恍然大悟，想起高斯当年好像也说过这话，只不过大家没有当回事儿。到了1824年，年轻的挪威天才数学家阿贝尔（Abel）终于证明了高于四次的一般形式的代数方程没有代数解。至此，这一长达300年的悬案终于可以结案了。

颜值担当——阿贝尔

天妒英才。当年24岁的阿贝尔完成了300年难题的证明，兴高采烈地将论文寄给高斯，可惜阴差阳错，高斯没有收到。24岁时，他到巴黎，把论文寄给巴黎科学院，到了柯西手中，可惜没有得到赏识，阿贝尔落寞地离开了，并且还感冒了。感冒没什么大不了的，可阿贝尔的感冒实际上是肺结核。这病在当时，很难治；更严重的问题是，阿贝尔根本没钱去治。他回到挪威，一直贫困交加，一些支持他的数学家为他四处奔波，希望能为他找到一个有编制的工作。当他的好友克列尔终于在柏林大学为他谋得一个教授的席位时，他已经去世两天了，那年他26岁。

热血青年——伽罗瓦

阿贝尔的经历令人唏嘘，但是伽罗瓦（Gulios）和他比起来，更加令人惋惜。1829年，18岁的巴黎高等师范学院（二本吧？）大一学生伽罗瓦在熟读拉格朗日和阿贝尔的论文之后大受启发，想寻找一种统一的方法讨论能否用根式求解高次方程。这一开始弄不打紧，结果被他找到了数学上极牛逼的结构——群。后来人们发现很多的数学结构都只是这一结构的例子罢了，也就是说它是数学概念的抽象抽象再抽象。他开心地将成果写成论文《关于代数方程论的研究报告》，寄给法国科学院，又到了柯西手中，可惜被柯西弄丢了（法国科学院当时是什么样的存在啊！柯西简直是少年英才杀手啊！），他再寄，最后终于到了傅里叶手中。可惜世事难料，傅里叶还没有看完就去世了。此时更大悲剧开始了，这位美少年参与了政治争斗而入狱，在狱中结识了一位医生的女儿，出狱之后他的一位“情敌”浮出水面，他不得不与这位情敌决斗。但是，这位情敌是一位军官，军官……，小伽在决斗中没有占到便宜，黯然死去。

张禾瑞编著的《近世代数基础》

还好，在决斗的前夜他彻夜未眠，将成果写成60多页的信，寄给一个朋友，使得这一最抽象、最精炼的数学分支得以流传后世。这一分支名为“近世代数”，至此代数学进入了一个崭新的时代。