拓扑排序,顾名思义,就是一种排序方法。这是一种什么排序?这种排序的作用?然后怎么去实现这种排序算法?现在就让我们仔细研究下。
实际上,拓扑排序是一种图论算法,该算法在《数据结构与算法》一书中有涉猎。引用维基百科的定义:
在图论中,由一个有向无环图的顶点组成的序列,当且仅当满足下列条件时,称为该图的一个拓扑排序(英语:Topological sorting)。
(1)每个顶点出现且只出现一次;
(2)若A在序列中排在B的前面,则在图中不存在从B到A的路径。
也可以定义为:拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序,它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径,那么在排序中B出现在A的后面。
是不是觉得看完概念还是很晕的感觉,下面就用一个实例来讲具体的拓扑排序样例。
(a)有向图网(AOV) (b)输出v6后 (c)输出v1后 (d)输出v4后 (e)输出v3后 (f)输出v2后
输出排序结果:v6-v1-v4-v3-v2-v5
此拓扑排序的思想是:
(1)从有向图中选取一个没有前驱的顶点,并输出之;
(2)从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧;
重复上述两步,直至图空,或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 -- 入度为零,删除顶点及以它为尾的弧-- 弧头顶点的入度减1。
何谓入度?
我觉得得先明白什么是度?度(Degree):一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数,顶点v的度记作d(v)。
入度:对于有向图来说,一个顶点的度可细分为入度和出度。一个顶点的入度是指与其关联的各边之中,以其为终点的边数。
出度:出度则是相对的概念,指以该顶点为起点的边数。
以v6这个顶点为例,它的入度为0,出度为2。
以v5这个顶点为例,它的入度为3,出度为0。
以v4这个顶点为例,它的入度为2,出度为1。
以v3这个顶点为例,它的入度为1,出度为2。
以v2这个顶点为例,它的入度为2,出度为0。
以v1这个顶点为例,它的入度为0,出度为3。
经验证,一个有向五环图中所有顶点的入度之和(0+3+2+1+2+0=8)等于所有顶点的出度之和(2+0+1+2+0+3=8)。
不禁有人就问了,有很多排序算法啊,快速排序,插值排序,这个排序到底有什么优点呢?平常这种排序又用于哪种场景呢?
我们说快速排序是不稳定的,这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象:相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序,它们对于值相同的元素,还有一个潜在的比较方式,即比较它们的出现顺序,出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较,将偏序关系转换为了全序关系,从而保证了结果的唯一性。而拓扑排序就是一种将偏序转换为全序的一种算法。
这里要补充两个概念,偏序和全序?
偏序:有向图中两个顶点之间不存在环路,至于连通与否,是无所谓的。
全序:就是在偏序的基础之上,有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中,就是单向连通的关系,注意不能双向连通,那就成环了)。
意思就是讲,一个不确定的偏序关系经全序后就有一种确定的先后顺序了。
既然有先后,那么在实际生活中的选课问题,比如大一时一定要修完这门课,大二才学第二门课,这种排课问题就是拓扑排序问题。
<span style="font-family:Comic Sans MS;">#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<stack> #include<memory.h> using namespace std; #define MAX 9999 stack<int>mystack; int indegree[MAX]; struct node { int adjvex; node* next; }adj[MAX]; int Create(node adj[],int n,int m)//邻接表建表函数,n代表定点数,m代表边数 { int i; node *p; for(i=1;i<=n;i++) { adj[i].adjvex=i; adj[i].next=NULL; } for(i=1;i<=m;i++) { cout<<"请输入第"<<i<<"条边:"; int u,v; cin>>u>>v; p=new node; p->adjvex=v; p->next=adj[u].next; adj[u].next=p; } return 1; } void print(int n)//邻接表打印函数 { int i; node *p; for(i=1;i<=n;i++) { p=&adj[i]; while(p!=NULL) { cout<<p->adjvex<<' '; p=p->next; } cout<<endl; } } void topsort(node adj[],int n) { int i; node *p; memset(indegree,0,sizeof(indegree)); for(i=1;i<=n;i++) { p=adj[i].next; while(p!=NULL) { indegree[p->adjvex]++; p=p->next; } } for(i=1;i<=n;i++) { if(indegree[i]==0) mystack.push(i); } int count=0; while(mystack.size()!=0) { i=mystack.top(); mystack.pop(); cout<<i<<' '; count++; for(p=adj[i].next;p!=NULL;p=p->next) { int k=p->adjvex; indegree[k]--; if(indegree[k]==0) mystack.push(k); } } cout<<endl; if(count<n)cout<<"有回路"<<endl; } int main() { int n; int m; cout<<"请输入顶点数及边数:"; cin>>n>>m; Create(adj,n,m); cout<<"输入的邻接表为:"<<endl; print(n); cout<<"拓扑排序结果为:"<<endl; topsort(adj,n); system("pause"); return 0; }</span>
所以,总结以上,拓扑排序实质上就是一种偏序到全序的排序算法。
主要是参考cplusplus.com网站上的代码,具体网址是:http://www.cplusplus.com/articles/iNwTURfi/
以下是经过验证了的代码:
<span style="font-family:Comic Sans MS;">#include <iostream> #include <vector> #include <string> #include <algorithm> using namespace std; class StringTopoSort { public : StringTopoSort(vector<string> [],int); ~StringTopoSort(); vector<string> string_topo_sort(); private : void visit(int index); int len; vector<string> * str_lists; vector<string> unsorted; vector<string> sorted; vector<int> * digit_eq; vector<int> digit_sorted; vector<bool> is_visited; }; StringTopoSort :: StringTopoSort(vector<string> * _str_lists,int _len) { str_lists = _str_lists; len = _len; digit_eq = new vector<int>[len]; for(int i =0; i<len;i++) { is_visited.push_back(false); unsorted.push_back(str_lists[i].at(0)); } for(int i =0; i<len;i++) { for(vector<string>::iterator it = str_lists[i].begin(); it<str_lists[i].end();++it) { vector<string> :: iterator index = find(unsorted.begin(),unsorted.end(),*it); if(index != unsorted.end() ) digit_eq[i].push_back(index-unsorted.begin()); } } } StringTopoSort :: ~StringTopoSort() {} vector<string> StringTopoSort :: string_topo_sort() { for(int i =0;i<len; i++) { if(is_visited[i] == false) visit(i); } for(int i = 0; i<digit_sorted.size();i++) sorted.push_back(unsorted[digit_sorted[i]]); return sorted; } void StringTopoSort :: visit(int index) { is_visited[index] = true; for(vector<int>::iterator i = digit_eq[index].begin(); i<digit_eq[index].end(); i++) { if(!is_visited[*i]) visit(*i); } digit_sorted.push_back(index); } int main(int argc, char ** argv) { vector<string> headers[] = {{"1","4","2","3"},{"2"},{"3","5","2"},\ {"4","5"},{"5"},{"6","5","4"}}; //输入的数据为有向无环图的邻接表,出度的邻接表 StringTopoSort sorter(headers,6); vector<string> sorted = sorter.string_topo_sort(); // for(int i =0; i<sorted.size(); i++) // cout << sorted[i] << " -- "; // for(vector <string>::iterator i=sorted.begin();i!=sorted.end();i++) //运用stl的迭代器进行顺序遍历 // cout << *i << "--"; // for(vector <string>::iterator i=sorted.end()-1;i!=sorted.begin();i--) //运用stl的迭代器进行反向遍历,会漏掉第1个元素 // cout << *i << "--"; vector <string>::iterator myi; myi=sorted.end(); do { myi--; cout<<*myi<<"--"; }while(myi!=sorted.begin());//漏掉了sorted.begin()指向的元素 cout << endl; return 0; }</span>实例2就采用了基于C++stl标准模板库,没有直接构建邻接表,而是直接输入的邻接表。注意,邻接表是有方向的,一般是从入度到出度的箭头方向算起。