卡特兰数

卡特兰数是组合数学中一个经常在各种计数问题中出现的数列，公式如下：
①
数列的前几项：1，1，2，5，14，42，132，429，1430，4862……

性质：
卡特兰数的公式可以表达成下面形式：
②
也可以用递推公式来表示：
③

应用：
1、大家最熟悉的应该是用Cn来表示将n+2边的凸多边形切割成三角形的方法个数，当n=4时：

2、Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY，XYXXYY，XYXYXY，XXYYXY，XXYXYY

其实这就是一种括号化问题：
P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：
((()))，()(())，()()()，(())()，(()())

这种Dyck word字符串还可以运用在棋盘上，例如用Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

更详细的，可以参考这道题：sicily 13062

3、Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数，n=3时：

4、出栈次序问题：一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

总结：
所有的问题虽然看上去不一样 ，但是本质是一样的，都是卡特兰数的应用。实际中我们就是要看透问题的本质，才可以快速解决问题。

参考：
维基百科，组合数学