BZOJ 2339: [HNOI2011]卡农

2011完结撒花

这题一眼看过去，裸的Lucas定理？？？？？？

赶紧写了一发，WA了QAQ

发现题目竟然还有限制，太无情了

所以我们还是先简化一下问题，比如说把组合这个限制去掉，变成排列

显然排列的答案求出来后直接除以m!就是组合的答案了

然后令f[i]为前i段合法的方案数

若i-1段的排列已经确定，有A(i-1,2^n-1)种方案，那么第i段显然只能加一种，但是可以加在不同位置上，然而去掉重复的最后还是只剩下A(i-1,2^n-1)种

但是其中存在不合法的方案

1.假设前i-1段构成的方案已合法，那么我们最后加上去的是空集，显然不合理，所以要减去f[i-1]

2.假设我们加上去的不是空集，但是和前面某一个是相同的，那么显然把两个相同的都去掉，有f[i-2]种合法的，可能与前i-1段中的其中一段相同，相同的时候可能的集合有2^n-1-(i-2)个，所以要减去f[i-2]*(i-1)*(2^n-1-(i-2))

于是有递推式f[i]=A(i-1,2^n-1)-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)*(2^n-1-(i-2))（我隐约觉得这个可以用矩乘来做）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p=(1e8)+7;
const int N=(1e6)+5;
ll inv[N],xp[N],A[N],f[N];
ll qmul(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
	return ans;
}
int main(){
	//freopen("a.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout);
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=max(n,m);i++)inv[i]=(p-(p/i)*inv[p%i]%p)%p;
	ll all=(qmul(2,n)-1+p)%p;
	A[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)A[i]=A[i-1]*(all-i+1+p)%p;
	for(int i=3;i<=m;i++)
	f[i]=((A[i-1]-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)%p*(all-i+2)%p)%p+p)%p;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	f[m]=f[m]*inv[i]%p;
	printf("%lld\n",f[m]);
	return 0;
}