图论算法之Floyed 例：信使||最优乘车||最短路径
图论算法之Floyed
算法思路：最短路问题中，求两个点的最短路，有可能存在中间有中转点的情况，比直接到达要优。Floyed就是利用了这个思路。如果求ij之间的最短路，那么如果ik之间的最短路+kj之间的最短路要小于当前ij之间的最短路的话，我们就认为以k为中转点要更优，更新答案。
时间复杂度：O(N^3)；
【代码】
<span style="font-size:14px;">#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,s,t,dis[105][105],x,y,z,maxn,i,j,k;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m,&s,&t);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dis[x][y]=z;
dis[y][x]=z;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
printf("%d",dis[s][t]);
return 0;
}</span>
【注意】三层循环尤其是k的顺序不能弄错！
特殊的，跑一边Floyed之后，我们就求出了任意两点之间的最短路。所以虽然Floyed的时间复杂度比较高，在求多组最短路这一方面还是有用武之地的。【单源最短路径的输出】
设pre[i][j]表示i->j最短路径j的前驱；
那么每次更新答案了之后pre[i][j]的值就更新为pre[k][j]；最后递归输出最短路径；
void print(int x)
{
if (pre[a][x] == 0) return; //pre[a][a]=0,说明已经递归到起点a
print(pre[a][x]);
cout << "->" << x;
}
for (k = 1; k <= n; k++) //floyed 最短路
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
if ((i != j) && (i != k) && (j != k))
if (dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j])
{
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
pre[i][j] = pre[k][j];
//从i到j的最短路径更新为i→k→j，那么i到j最短路径j的前驱就肯定与k到j最短路径j的前驱相同。
}
cout << a;
print(b); //a是起点，b是终点
return 0;
}【Floyed与最小环问题】
在进行Floyed的同时，可以顺便求出最小环。
g[i][j]为边权。
for (k = 1; k <= n; k++)
{
for (i = 1; i <= k-1; i++)
for (j = 1; j <= k-1; j++)
answer = min(answer,dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]);
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j]:=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}
answer表示以k作为最大点的环的最小值，但是如果对于有向图，结点A到结点B有边，同时结点B到结点A也有边，也就是不需要中转点的情况，需要特判是否是最小环。
【用Floyed的思路来判断两点之间是否连通】
只需要把循环中的语句改成dis[i][j]=dis[i][j]||dis[i][k]&&dis[k][j]（dis为bool型数组，dis[i][j]表示ij是否连通）就可以实现；
下面看两个基础的Floyed的例子：
例1 信使
<span style="font-size:14px;">#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,a,dis[105][105],x,y,z,maxn;
int i,j,k;
int main()
{
freopen("msner.in","r",stdin);
freopen("msner.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dis[x][y]=z;
dis[y][x]=z;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
for (i=2;i<=n;++i)
{
if (dis[1][i]==0x7777777)
{
printf("-1");
return 0;
}
if (maxn<dis[1][i])
maxn=dis[1][i];
}
printf("%d",maxn);
return 0;
}</span>
【问题描述】
H城是一个旅游胜地，每年都有成千上万的人前来观光。为方便游客，巴士公司在各个旅游景点及宾馆，饭店等地都设置了巴士站并开通了一些单程巴上线路。每条单程巴士线路从某个巴士站出发，依次途经若干个巴士站，最终到达终点巴士站。
一名旅客最近到H城旅游，他很想去S公园游玩，但如果从他所在的饭店没有一路巴士可以直接到达S公园，则他可能要先乘某一路巴士坐几站，再下来换乘同一站台的另一路巴士, 这样换乘几次后到达S公园。
现在用整数1,2,…N 给H城的所有的巴士站编号，约定这名旅客所在饭店的巴士站编号为1，S公园巴士站的编号为N。
写一个程序，帮助这名旅客寻找一个最优乘车方案,使他在从饭店乘车到S公园的过程
中换车的次数最少。
【输入格式】
输入文件是Travel.in。文件的第一行有两个数字M和N(1<=M<=1001<N<=500），表示开通了M条单程巴士线路，总共有N个车站。从第二行到第M刊行依次给出了第1条到第M条巴士线路的信息。其中第i+1行给出的是第i条巴士线路的信息，从左至右按运行顺序依次给出了该线路上的所有站号相邻两个站号之间用一个空格隔开。
【输出格式】
输出文件是Travel.out，文件只有一行。如果无法乘巴士从饭店到达S公园，则输出"N0"，否则输出你的程序所找到的最少换车次数，换车次数为0表示不需换车即可到达。
【输入样例】Travel.in
3 7
6 7
4 7 3 6
2 1 3 5
【输出样例】Travel.out
2
<span style="font-size:14px;">#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,i,j,k,s,ans;
int dis[505][505],a[505];
char c;
int main()
{
freopen("travel.in","r",stdin);
freopen("travel.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&m,&n);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
s=0;
c=0;
while (c!=10)
{
s++;
cin>>a[s];
scanf("%c",&c);
}
for (j=1;j<=s-1;++j)
for (k=j+1;k<=s;++k)
dis[a[j]][a[k]]=1;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
if (dis[1][n]==0x7777777)
{
printf("NO");
return 0;
}
ans=dis[1][n]-1;
printf("%d",ans);
return 0;
}</span>
【问题描述】
给出一个有向图G=(V,E)，和一个源点v0∈V，请写一个程序输出v0和图G中其它顶点的最短路径。只要所有的有向环都是正的，我们就允许图的边有负值。顶点的标号从1到n（n为图G的顶点数）。
【输入格式】
第1行：一个正数n（2<=n<=80），表示图G的顶点总数。
第2行：一个整数，表示源点v0（v0∈V，v0可以是图G中任意一个顶点）。
第3至第n+2行，用一个邻接矩阵W给出了这个图。
【输出格式】
共包含n-1行，按照顶点编号从小到大的顺序，每行输出源点v0到一个顶点的最短距离。每行的具体格式参照样例。
【输入样例】
5
1
0 2 - - 10
- 0 3 - 7
- - 0 4 -
- - - 0 5
- - 6 - 0
【输出样例】
(1 -> 2) = 2
(1 -> 3) = 5
(1 -> 4) = 9
(1 -> 5) = 9
【解题思路】#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,v0,i,j,k,a;
long long dis[105][105];
char s[20];
void work(int u,int t)
{
int i,len,j,l;
long long k;
bool pd;
pd=false;
if (s[0]=='-')
{
pd=true;
l=1;
}
else l=0;
dis[u][t]=0;
k=1;
len=strlen(s);
for (i=len-1;i>=l;--i)
{
j=s[i]-48;
dis[u][t]+=j*k;
k*=10;
}
if (pd==true)
dis[u][t]=-dis[u][t];
}
int main()
{
freopen("shopth.in","r",stdin);
freopen("shopth.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
scanf("%d",&v0);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=1000000000000000000;
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
{
cin>>s;
if (strlen(s)!=1||s[0]!='-')
work(i,j);
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
for (i=1;i<=n;++i)
if (i!=v0)
{
printf("(%d -> %d) = ",v0,i);
cout<<dis[v0][i]<<endl;
}
return 0;
}