BZOJ 1026 windy数(数位dp)

【题意】windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道，在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

【分析】思路转自他人。。。

数位DP

分成两步：求总共的DP和统计答案

DP：

dp[i][j]表示i位数字，最高位为j的windy数的个数

dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) |j-k|>=2

边界dp[1][j]=1  0<=j<=9

统计答案的时候用前缀的思想， ANS=solve(b)-solve(a-1)

solve(x)表示1..x-1中windy数的个数

为什么是x-1呢？ 看下面统计的过程

统计答案的时候分成三部分：

  比如x=ABCDEFG

设x的位数为len

  第一部分直接累加 1..A-1开头的所有答案（A表示最高位的数字）-->长度一定为len

  第二部分从B开始，从高位到低位（或者从低位到高位）统计长度为1..len-1的答案

  注意以上两种情况首位都不能为0，但是可以取1..9的所有数

  第三部分就是统计以A开头的答案，这时一定要从len-1..1倒着统计，表示前面的数字已经确定是x的前面那几位数字了。枚举当前第i位的数字为0..dight[i]-1，如果满足条件就累加；再考虑dight[i]是否可以计入，如果满足和dight[i+1]的差>=2那么继续统计，下一步统计i-1的时候统计的就是第i位为dight[i]的结果，但是如果不满足，那么x就不是windy数，直接退出，后面也不会有答案。只有dight[i]决定是否继续统计，因为后一位统计的是第i位为dight[i]的答案。

至于为什么是x-1，在统计的时候最后如果x是windy数，也不会加1，最多只统计了x-1，为了避免最后在solve中添加判断，就直接在计算的时候+1.

【AC代码】按照上面的分析，写出ac代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll dp[12][11];
ll a,b;
int len,dig[12];
void Init_DP(){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0; i<10; i++) dp[1][i]=1;
    for(int i=2; i<=10; i++){
        for(int j=0; j<10; j++){
            for(int k=0; k<10; k++){
                if(abs(j-k)>=2) dp[i][j] += dp[i-1][k];
            }
        }
    }
}
ll solve(ll x){
    ll ans = 0;
    if(x==0) ans = 0;
    memset(dig,0,sizeof(dig));
    len=0;
    while(x){
        dig[++len] = x%10;
        x/=10;
    }
    //answer 1.
    for(int i=1; i<=dig[len]-1; i++){
        ans += dp[len][i];
    }
    //answer 2.
    for(int i=len-1; i>=1; i--){
        for(int j=1; j<10; j++){
            ans += dp[i][j];
        }
    }
    //answer 3.
    for(int i=len-1; i>=1; i--){
        for(int j=0; j<=dig[i]-1; j++){
            if(abs(dig[i+1]-j)>=2){
                ans += dp[i][j];
            }
        }
        if(abs(dig[i]-dig[i+1])<2) break;
    }
    return ans;
}

int main(){
    Init_DP();
    cin>>a>>b;
    cout<<solve(b+1)-solve(a)<<endl;
    return 0;
}