行列式和全排列的关系

在有的视频教程中，讲述N阶行列式之前，会谈到全排列，那么，行列式和全排列有什么关系呢？

我们就拿三阶行列式为例：

| a11  a12  a13 |

| a21  a22  a23 |

| a31  a32  a33 |

该三阶行列式展开之后的形式如下：

a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a31a22a13 - a21a12a33 - a11a23a32

我们可以看到，该行列式展开之后一共有六项。

假设我们从该三阶行列式中每一行任取一个元素，要求取在不同的列上，那么一共有多少种取法呢？

从第一行任取一个元素的取法共有3种

从第二行任取一个元素的取法共有2种（没有被取到的那个元素和第一行被取到的那个元素在同一列上）

从第三行任取一个元素的取法共有1种（没有被取到的那两个元素中，有一个和第一行被取到的元素同列，另外一个和第二行取到的元素同列）

当第一行取到的元素是a11的时候，取出的三个元素的可能为

a11   a22   a33

a11   a23   a32

当第一行取出的元素是a12的时候，取出的三个元素的可能为

a12   a21   a33

a12   a23   a31

当第一行取出的元素是a13的时候，取出的三个元素的可能为

a13   a21   a32

a13   a22   a31

所以，所有可能的组合为

a11   a22   a33

a11   a23   a32

a12   a21   a33

a12   a23   a31

a13   a21   a32

a13   a22   a31

 

那么行列式和全排列的关系为：

从行列式的每行中任取一个元素，要求取在不同的列上，所得到的全排列就是该行列式展开之后的所有项(不带符号)。