背包问题总结(01背包、完全背包、多重背包)

1、 01背包问题

有n个物品,每个物品只有一件。

动归方程:

(1)  二维数组解法

     dp[i][j]=max{dp[i-1][j-w[i]]+v[i] , dp[i-1][j]};

(2)  一维数组解法

     dp[j]=max{dp[j-w[i]]+v[i] , dp[j]}

附代码:

HDU 2602 Bone Collector

二维数组:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int dp[1005][1005];
int main()
{
    int n,T,W;
    scanf("%d",&T);
    int i,j,w[1005],v[1005];
    while(T--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d %d",&n,&W);        //n件物品,总容量为W
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",v+i);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",w+i);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=0;j<=W;j++)         //注意,j要从0开始,可能有质量为0的情况
            {
                if(j>=w[i])
                {
                    if(dp[i-1][j-w[i]]+v[i]>dp[i-1][j])
                        dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i];
                    else
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
                else
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][W]);
    }

    return 0;
}
一维数组:

<span style="font-size:12px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
int dp[1005];
int main()
{
    int n,T,W;
    scanf("%d",&T);
    int i,j,w[1005],v[1005];
    while(T--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d %d",&n,&W);        //n件物品,总容量为W
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",v+i);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",w+i);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=W;j>=w[i];j--)         //注意这里的j的取值
            {
                if(dp[j-w[i]]+v[i]>dp[j])
                    dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[W]);
    }

    return 0;
}
</span>

2、完全背包

n种物品,每种物品有无数个

动归方程:

dp[j]=max{dp[j-w[i]] , dp[j]}

虽然完全背包和01背包的动归方程相同,但是在循环时,01背包是j=W....w[i],完全背包是j=w[i]....W。

(如果不理解,见《背包九讲》,自己遍历下也就懂了)

附代码:

HDU 1114 Piggy-Bank

#include <stdio.h>
int dp[50005];
int main()
{
    int T;
    int w1,w2,W;
    int n,i,j;
    int w[10005],v[50005];
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d %d",&w1,&w2,&n);
        W=w2-w1;
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d %d",v+i,w+i);
        dp[0]=0;
        for(i=1;i<=W;i++)
            dp[i]=1000000;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=w[i];j<=W;j++)
            {
                if(dp[j-w[i]]+v[i]<dp[j])
                    dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];
            }
        }
        if(dp[W]==1000000)
            printf("This is impossible.\n");
        else
            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[W]);
    }

    return 0;
}


3、多重背包

n种物品,每种物品有n1,n2,n3....ni个

当n[i]*w[i]>=W,可以看成完全背包。

当n[i]*w[i]<W,便可看成01背包,用二分思想。

(具体见《背包九讲》)

附代码:

HDU 1059 Dividing

<span style="font-size:12px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
int dp[120005];
int n[10],N,W;
void CompletePack(int v,int w) //完全背包
{
    int i;
    for(i=w;i<=W;i++)
        if(dp[i-w]+v>dp[i])
            dp[i]=dp[i-w]+v;
}

void ZeroOnePack(int v,int w)
{
    int i;
    for(i=W;i>=w;i--)
        if(dp[i-w]+v>dp[i])
            dp[i]=dp[i-w]+v;
}

int main()
{
     int i,j;
     int index=0;
     N=6;
     while(scanf("%d %d %d %d %d %d",&n[1],&n[2],&n[3],&n[4],&n[5],&n[6]),n[1]||n[2]||n[3]||n[4]||n[5]||n[6])
     {
         index++;
         W=0;
         memset(dp,0,sizeof(dp));
         printf("Collection #%d:\n",index);
         for(i=1;i<=N;i++)
            W+=(n[i]*i);
         if(W%2)
        {
            printf("Can't be divided.\n\n");
            continue;
        }
        W/=2;
         for(i=1;i<=N;i++)
        {
             if(n[i]*i>=W)
                CompletePack(i,i);
             else
             {
                 for(j=1;j<n[i];j=j*2)
                 {
                     ZeroOnePack(i*j,i*j);
                     n[i]-=j;
                 }
                 ZeroOnePack(n[i]*i,n[i]*i);
             }
        }
        if(dp[W]==W)
            printf("Can be divided.\n");
        else
            printf("Can't be divided.\n");
        putchar('\n');
     }
    return 0;
}</span>


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