uvalive 3890 半平面交

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Point
{
	double x, y;
	Point(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}
};
typedef Point Vector;
typedef vector<Point> Polygon;
Vector operator +(Vector A, Vector B)//
{
	return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);
}
Vector operator -(Point A, Point B)//
{
	return Vector(A.x - B.x , A.y - B.y);
}
Vector operator *(Vector A, double p)//
{
	return Vector(A.x * p, A.y * p);
}
double Dot(Vector A, Vector B)
{
	return A.x * B.x + A.y * B.y;
}
double Length(Vector A)
{
	return sqrt(Dot(A, A));
}
struct Line
{
	Point P;
	Vector v;
	double ang;
	Line() {};
	Line(Point P, Vector v): P(P), v(v) {ang = atan2(v.y, v.x);}
	bool operator < (const Line& L) const
	{
		return ang < L.ang;
	}
};
Point P[200], poly[200];
Line L[200];
Vector v[200], v2[200];
const double eps = 1e-10;
double Cross(Vector A, Vector B)//
{
	return A.x * B.y - A.y * B.x;
}
Vector Normal(Vector A)
{
	double L = Length(A);
	return Vector(-A.y / L, A.x / L);
}
bool OnLeft(Line L, Point p)
{
	return Cross(L.v, p - L.P) > 0;
}
Point GetIntersection(Line a, Line b)
{
	Vector u = a.P - b.P;
	double t = Cross(b.v, u) / Cross(a.v, b.v);
	return a.P + a.v * t;
}
int HalfplaneIntersection(Line *L, int n, Point *poly)
{
	sort(L, L + n);
	int first, last;
	Point *p = new Point[n];
	Line *q = new Line[n];
	q[first = last = 0] = L[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		while (first < last && !OnLeft(L[i], p[last - 1])) last--;
		while (first < last && !OnLeft(L[i], p[first])) first++;
		q[++last] = L[i];
		if (fabs(Cross(q[last].v, q[last - 1].v)) < eps)
		{
			last--;
			if (OnLeft(q[last], L[i].P)) q[last] = L[i];
		}
		if (first < last) p[last - 1] = GetIntersection(q[last - 1], q[last]);
	}
	while (first < last && !OnLeft(q[first], p[last - 1]))last--;
	if (last - first <= 1) return 0;
	p[last] = GetIntersection(q[last], q[first]);
	int m = 0;
	for (int i = first; i <= last; i++) poly[m++] = p[i];
	return m;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) == 1 && n)
	{
		int m, x, y;
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%d%d", &x, &y);
			P[i] = Point(x, y);
		}
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			v[i] = P[(i + 1) % n] - P[i];
			v2[i] = Normal(v[i]);
		}
		double left = 0, right = 20000;
		while (right - left > 1e-6)
		{
			double mid = left + (right - left) / 2;
			for (int i = 0; i < n; i++)
				L[i] = Line(P[i] + v2[i] * mid, v[i]);
			m = HalfplaneIntersection(L, n, poly);
			if (!m) right = mid;
			else left = mid;
		}
		printf("%.6lf\n", left);
	}
	return 0;
}

题意：给出一个凸n边形，求多边形内部一点使得该点到边的最小距离最大。


分析：最小值最大可以用二分。


多边形每条边的左边是一个半平面，将这n个半平面向左移动距离x，则将这个凸多边形缩小了。如果这n个半平面交非空，则存在这样距离为x的点，反之则不存在。

半平面交：

半平面交的一个重要应用就是求多边形的核 。 多边形的核又是神马玩意？  它是平面简单多边形的核是该多边形内部的一个点集，该点集中任意一点与多边形边界上一点的连线都处于这个多边形内部。就是一个在一个房子里面放一个摄像 头，能将所有的地方监视到的放摄像头的地点的集合即为多边形的核。经常会遇到让你判定一个多边形是否有核的问题。

半平面交的最终奥义就是求出一个满足条件的凸多边形 ，而解决这个问题的前提就是直线切割多边形 ，让直线不断的去切割当前多边形，然后得到新的多边形，然后继续。。。最终得到一个符合条件的多边形，如果最终的多边形顶点数目为0，那么就说明半平面交无解（半平面交的解可以是一个凸多边形，一条直线，一个点，我们用顶点来记录这些解）。关于直线切割多边形，流程 是这样的：
对 凸多边形（指的是当前多边形）的每一个顶点，如果这个顶点在直线的指定的一侧（暨在该半平面上），那么就将该顶点直接加入到新的多边形中，否则，看与该点 相邻的多边形上的两个点（判断线段是否和直线相交），如果和直线相交，则把交点加入到新的多边形中。这样，就可以得到一个新的凸多边形。关于最初的多边 形，我们可以设一个四方形的区域，比如说（-1000，-1000），（-1000,1000），（1000,1000），（1000,-1000），然 后开始切割。

介绍来自http://blog.csdn.net/accry/article/details/6070621