线性规划与网络流24题 17运输问题

运输问题

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description

W公司有m个仓库和n 个零售商店。第i 个仓库有ai 个单位的货物；第j 个零售商店需要bj个单位的货物。货物供需平衡，即。从第i 个仓库运送每单位货物到第j 个零售商店的费用为Cij 。试设计一个将仓库中所有货物运送到零售商店的运输方案，使总运输费用最少。 对于给定的m 个仓库和n 个零售商店间运送货物的费用，计算最优运输方案和最差运输方案。

input

多组数据输入. 每组输入第1行有2 个正整数m和n，分别表示仓库数和零售商店数。接下来的一行中有m个正整数ai ，1≤i≤m，表示第i个仓库有ai 个单位的货物。再接下来的一行中有n个正整数bj ，1≤j≤n，表示第j个零售商店需要bj 个单位的货物。接下来的m行，每行有n个整数，表示从第i 个仓库运送每单位货物到第j个零售商店的费用Cij 。

output

每组输出最少运输费用和最多运输费用

sample_input

2 3 220 280 170 120 210 77 39 105 150 186 122

sample_output

48500 69140

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【问题分析】


费用流问题。


【建模方法】


把所有仓库看做二分图中顶点Xi，所有零售商店看做二分图中顶点Yi，建立附加源S汇T。


1、从S向每个Xi连一条容量为仓库中货物数量ai，费用为0的有向边。
2、从每个Yi向T连一条容量为商店所需货物数量bi，费用为0的有向边。
3、从每个Xi向每个Yj连接一条容量为无穷大，费用为cij的有向边。


求最小费用最大流，最小费用流值就是最少运费，求最大费用最大流，最大费用流值就是最多运费。


【建模分析】


把每个仓库想象成一个中转站，由源点运来ai单位货物，运费为0，每个商店也为一个中转站，运向目标汇点bi单位货物。每个仓库和零售商店之间有一条道路，容量为无穷大，费用为单位运费cij。求从源点到汇点的费用流，就是运费。

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#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int OO=1e9;//无穷大
const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍
const int maxn=2222;//点的最大数量

int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数
int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头，p记录可行流上节点对应的反向边，dis计算距离

struct edgenode
{
    int to;//边的指向
    int flow;//边的容量
    int cost;//边的费用
    int next;//链表的下一条边
} edges[maxm];

void prepare(int _node,int _src,int _dest);
void addedge(int u,int v,int f,int c);
bool spfa();

inline int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}

inline void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
    node=_node;
    src=_src;
    dest=_dest;
    for (int i=0; i<node; i++)
    {
        head[i]=-1;
        vis[i]=false;
    }
    edge=0;
}

void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
    edges[edge].flow=f;
    edges[edge].cost=c;
    edges[edge].to=v;
    edges[edge].next=head[u];
    head[u]=edge++;
    edges[edge].flow=0;
    edges[edge].cost=-c;
    edges[edge].to=u;
    edges[edge].next=head[v];
    head[v]=edge++;
}

bool spfa()
{
    int i,u,v,l,r=0,tmp;
    for (i=0; i<node; i++) dis[i]=OO;
    dis[q[r++]=src]=0;
    p[src]=p[dest]=-1;
    for (l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?l=0:1))
    {
        for (i=head[u=q[l]],vis[u]=false; i!=-1; i=edges[i].next)
        {
            if (edges[i].flow&&dis[v=edges[i].to]>(tmp=dis[u]+edges[i].cost))
            {
                dis[v]=tmp;
                p[v]=i^1;
                if (vis[v]) continue;
                vis[q[r++]=v]=true;
                if (r>=maxn) r=0;
            }
        }
    }
    return p[dest]>=0;
}

int spfaflow()
{
    int i,ret=0,delta;
    while (spfa())
    {
        //按记录原路返回求流量

        for (i=p[dest],delta=OO; i>=0; i=p[edges[i].to])
        {
            delta=min(delta,edges[i^1].flow);
        }
        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])
        {
            edges[i].flow+=delta;
            edges[i^1].flow-=delta;
        }
        ret+=delta*dis[dest];
    }
    return ret;
}

int n,m;

int a[1111];
int b[1111];
int c[1111][1111];

int main()
{
    while (~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        prepare(m+n+2,0,m+n+1);
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            addedge(src,i,a[i],0);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&b[i]);
            addedge(i+m,dest,b[i],0);
        }
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&c[i][j]);
                addedge(i,j+m,OO,c[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",spfaflow());

        prepare(m+n+2,0,m+n+1);
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            addedge(src,i,a[i],0);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            addedge(i+m,dest,b[i],0);
        }
        for (int i=1;i<=m;i++)
        {
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                addedge(i,j+m,OO,-c[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",-spfaflow());
    }
    return 0;
}