[BZOJ 1597][USACO 2008 Mar]土地购买(DP+斜率优化)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

思路

首先对所有的矩形按照第一关键字长度升序，第二关键字宽度升序排序，然后贪心地将每个会被其他矩形完全覆盖住的矩形全部删去。显然此时所有的矩形是按照长度升序，按照宽度降序排列的。为什么呢？假如有两个矩形 i,j,i<j ，且 i 的宽度是大于 j 的宽度的，由于之前去掉矩形前排序时已经保证了 i 的长度小于 j 的长度。则一定会有矩形 i 被矩形 j 覆盖，与之前已经去掉所有被覆盖的矩形相矛盾。

因此我们可以想到一个DP的做法，用 f[i] 表示前 i 个矩形最少购买代价，我们可以枚举 j ，使得区间 [j+1,i] 的矩形一起购买。则有：

f[i]=min{f[j]+hj+1li}

这个DP是 O(n2) 的，不能直接AC，但是可以通过单调队列优化。

假设当前要DP求出 f[i] ， x<y ，且状态 f[y] 比 f[x] 更优，则有：

f[x]+hx+1li<f[y]+hy+1li

f[x]−f[y]hy+1−hx+1<li

这样我们只需要维护一个单调队列，并且队列中相邻两个状态对应的两个点的 f[x]−f[y]hy+1−hx+1 单调递减。这样就能在 O(n) 时间求出答案了

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 51000

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n;

struct Square
{
    LL l,h;
}sqr[MAXN],stack[MAXN];

int top=0;

bool cmp(Square a,Square b)
{
    if(a.l==b.l) return a.h<b.h;
    return a.l<b.l;
}

LL f[MAXN];
int q[MAXN],h=1,t=1;

LL fracup(int a,int b)
{
    return f[b]-f[a];
}

LL fracdn(int a,int b)
{
    return sqr[a+1].h-sqr[b+1].h;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&sqr[i].l,&sqr[i].h);
    sort(sqr+1,sqr+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(top>0&&sqr[i].h>=stack[top].h) top--;
        stack[++top]=sqr[i];
    }
    q[t++]=0;
    for(int i=1;i<=top;i++) sqr[i]=stack[i];
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        while(h+1<t&&fracup(q[h],q[h+1])<=sqr[i].l*fracdn(q[h],q[h+1])) h++;
        f[i]=f[q[h]]+sqr[q[h]+1].h*sqr[i].l;
        while(h+1<t&&fracup(q[t-1],i)*fracdn(q[t-2],q[t-1])<fracup(q[t-2],q[t-1])*fracdn(q[t-1],i)) t--;
        q[t++]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[top]);
    return 0;
}