Bzoj2705 Logge的问题

Bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0

Analisys

欲求

∑i=1Ngcd(i,N)

可以枚举a，使得gcd(a,N)=a，则原问题等价于

∑a|NN(∑gcd(k,N/a)=1Na)

而 ∑Ngcd(k,N/a)=1a 就等于 aϕ(N/a)
因此原问题转化为

∑a|NNaϕ(N/a)

我们可以在 N−−√ 的时间内枚举a，那么与a对应的另一个约数就是N/a,因此最终公式

ans=∑a|NN√(aϕN/a+(N/a)ϕa)

我们当然不能用线性筛法把 ϕ() 算出来，只能枚举a，每次将用到的 ϕ() 在 N−−√ 的时间内筛出来
这样就有个问题，外层循环枚举a，次数 N−−√ 内层计算 ϕ() ，如果每个a都是约数的话，时间复杂度将是O(N)的，无法接受，所以到底 1到N−−√ 内有多少N的约数呢？

探究 整数N有多少个约数？

//CodeVS2912 bzoj1053 河南省选2007 反素数 搜索
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxp 50000
#define ll long long
using namespace std;
ll p[maxp], tot, n, q[maxp], maxg, minx, N;
bool no[maxp], vis[100000000];
void shai()
{
    ll i, t, j;
    for(i=2;i<=maxp;i++)
    {
        if(!no[i])p[++tot]=i;
        for(j=1;j<=tot && i*p[j]<=maxp;j++)
        {
            no[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
void dfs(ll x, ll g)
{
    if(x>N)return;
    if(g<=maxg && x>=minx)return;
    if(x<100000000)
        if(vis[x])return;else vis[x]=true;
    if(g>maxg)maxg=g,minx=x;
    if(g==maxg)minx=min(minx,x);
    ll i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {q[i]++;dfs(x*p[i],g+g/q[i]);q[i]--;}
    q[++n]=1;dfs(x*p[n],(g<<1));--n;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&N);
    shai();
    q[n=1]=1;
    dfs(2,2);
    printf("%lld",minx);
    return 0;
}

运行结果

Input 2147483638
Output 1600

可以看出，从1到2147483648中，因数最多的数(这个数是2095133040)的因数个数是1600
于是时间复杂度 O(kN−−√) ，k=1600，最坏情况 232−−−√×1600=1.048576×108 ，实际情况比这小得多

Code

Accepted 804 kb 16 ms

//bzoj2705 Longge的问题 欧拉函数
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll N, ans;
ll phi(ll x)
{
    ll i, t=x, p=x;
    if(x==1)return 1;
    for(i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(t%i==0)p=p-p/i;
        while(t%i==0)t/=i;
    }
    if(t>1)p=p-p/t;
    return p;
}
int main()
{
    ll i;
    scanf("%lld",&N);
    for(i=1;i*i<=N;i++)
        if(N%i==0)ans+=phi(N/i)*i+phi(i)*(N/i);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}