矩阵解压（UVa11082）

学习网络流中。。。。

看了刘汝佳大神的算法经典，边尝试做树上的例题（当然是看了题解后做的`-_-!），这个是其中之一。

刘汝佳提供的解题思路是这样的：因为知道前 i 行所有元素之和 a[i ]以及前 j 列所有元素之和 b[i] ，那么就能计算出第 i 行所有元素之和以及第 j 列所有元素之和，如果矩阵中的每个数都减一，那么每一行之和都会减少C，每一列都会减少R，这样每个元素的范围变成了0~19，设每一行之和减一为 c[i] ，每一列之和减一为 d[j]。建立一个二分图，每行对应一个X节点，每一列对应一个Y节点，从原点到每一个X节点引一条弧（假设为第一类弧），容量为 c[i] ；从每一个Y节点到汇点引一条弧（假设为第二类弧），容量为 d[j] ；从每一个X节点到每一个Y节点引一条弧（第三类弧），容量为19,。跑一遍最大流，如果第一类弧和第二类弧都满载（流量等于容量），那么每个从X节点到Y节点弧的流量就是矩阵中的元素，否则不存在。

为什么这样是正确的呢？首先注意到这一点：矩阵中的每个元素都减一。为什么要减一？这是为了求最大流的方便，题目要求矩阵中的元素要在1到20之间，而在求最大流的时候是有可能出现0流的，所以这样减去一之后求出的流量（矩阵中的元素）在0到19之间，输出时加一就可以了。那这样建图和求解的原理是什么？对于每一个X节点，都是只有一个入流，多个出流（分别流向每一个Y节点），显然多个出流的和正好等于入流；同理，对于每一个Y节点，有多个入流（分别来自每一个X节点），只有一个出流，显然多个入流的和等于出流。再考虑每一类弧的意义：第一类弧，以每一行所有元素之和为容量；第三类弧，以每一列所有元素之和为容量；第二类弧，最终流量为矩阵中的每一个元素。也就是说，第一类弧分成多个分支，每一个第一类弧都分出一个分支汇到同一个第三类弧。在考虑矩阵：把每一行的和分成多个元素，每一行的和都会分出一个元素排列在同一列，组成这一列的和。其中有很大的相似性，其实就是问题的变形，只要求出每一个第二类弧的流量，就是求出了矩阵中的每一个元素。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define maxn 1000
#define INF (1<<31)-1

using namespace std;

struct Edge
{
    int from,to,cap,flow;
    Edge(int u,int v,int c,int f):
        from(u),to(v),cap(c),flow(f) {}
};

struct Dinic
{
    int n,m,s,t;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int d[maxn];
    int cur[maxn];
    bool vis[maxn];

    void init(int n)
    {
        for (int i=0; i<n; i++)
            G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void Addedge(int from,int to,int cap)
    {
        edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
        edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        for (int i=0; i<n; i++) d[i] = INF;
        d[s] = 0; vis[s] = true;

        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        while (!Q.empty())
        {
            int x = Q.front();
            Q.pop();
            for (int i=0; i<G[x].size(); i++)
            {
                Edge e = edges[G[x][i]];
                if (!vis[e.to] && e.cap>e.flow)
                {
                    vis[e.to] = true;
                    d[e.to] = d[x]+1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if (x == t || a == 0)
            return a;
        int flow = 0,f;
        for (int i=cur[x]; i<G[x].size(); i++)
        {
            Edge& e = edges[G[x][i]];
            if (d[e.to] == d[x]+1 && (f = DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow))) > 0)
            {
                e. flow += f;
                edges[G[x][i]^1].flow -= f;
                flow += f;
                a -= f;
                if (a == 0)
                    break;
            }
        }
        return flow;
    }

    bool OKA()
    {
        for (int i=0; i<G[s].size(); i++)
        {
            Edge e = edges[G[s][i]];
            if (e.cap!=e.flow)
                return false;
        }
        return true;
    }

    bool OKB(int R,int C)
    {
        for (int j=R+1; j<=R+C; j++)
        {
            Edge& e = edges[G[j][0]];
            if (e.cap!=e.flow)
                return false;
        }
        return true;
    }

    void Maxflow(int t,int R,int C)
    {
        int flow = 0;
        while (BFS())
        {
            memset(cur,0,sizeof(cur));
            flow += DFS(s,INF);
        }

        cout<<"Matrix "<<t<<endl;
        if (OKA() && OKB(R,C))
        {
            for (int i=1; i<=R; i++)
            {
                int j;
                for (j=1; j<G[i].size()-1; j++)
                    cout<<edges[G[i][j]].flow+1<<' ';
                cout<<edges[G[i][j]].flow+1<<endl;
            }
        }
        cout<<endl;
    }
};

int main()
{
    Dinic aa;
    int T,R,C,tmp;
    int a[30],b[30],c[30],d[30];

    cin>>T;
    tmp = T;
    while (T>0)
    {
        T--;
        aa.init(maxn);
        cin>>R>>C;
        for (int i=1; i<=R; i++) cin>>a[i];
        for (int i=1; i<=C; i++) cin>>b[i];
        for (int i=1; i<=R; i++) c[i] = a[i]-a[i-1]-C;
        for (int i=1; i<=C; i++) d[i] = b[i]-b[i-1]-R;

        for (int i=1; i<=R; i++)
            aa.Addedge(0,i,c[i]);
        for (int i=1; i<=C; i++)
            aa.Addedge(R+i,R+C+1,d[i]);
        for (int i=1; i<=R; i++)
            for (int j=1; j<=C; j++)
                aa.Addedge(i,R+j,19);
        aa.s = 0; aa.t = R+C+1;
        aa.Maxflow(tmp-T,R,C);
    }
    return 0;
}